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Suite avec trigonométrie

Posté par
maguimax2 10-03-19 à 00:25

Bonsoir aider moi ici
Soit la suite (Un) définie par
U0€[0,1]
Un+1=√[(un+1)/2]

1./ on pose U0=cos(alpha) où alpha est compris entre 0 et π/2

Démontrer que Un=Cos(alpha/2^n)

Réponse : j'ai fait l'initiation mais l'hérédité ma pose problème

Posté par
patrice rabillerre : Suite avec trigonométrie 10-03-19 à 06:32

Bonjour,

Tout le raisonnement est basé sur la formule : \cos2 x=\dfrac{\cos2x+1}{2}
Tu peux en déduire  \cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\cos\alpha+1}{2}

Ne pas oublier aussi que \dfrac{\frac{\alpha}{2^n}}{2}=\dfrac{\alpha}{2^n}\times\dfrac 1 2=\dfrac{\alpha}{2^{n+1}}

Posté par
maguimax2re : Suite avec trigonométrie 10-03-19 à 09:45

patrice rabiller @ 10-03-2019 à 06:32

Bonjour,

Tout le raisonnement est basé sur la formule : \cos2 x=\dfrac{\cos2x+1}{2}
Tu peux en déduire  \cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\cos\alpha+1}{2}

Ne pas oublier aussi que \dfrac{\frac{\alpha}{2^n}}{2}=\dfrac{\alpha}{2^n}\times\dfrac 1 2=\dfrac{\alpha}{2^{n+1}}


Merci infiniment

Posté par
gerrebare : Suite avec trigonométrie 10-03-19 à 12:12

Bonjour,
Vous voulez dire (cosx)²=(1+cos2x)/2  ?

Posté par
maguimax2re : Suite avec trigonométrie 10-03-19 à 13:33

Voilà c'est ça je sais ce que vous voulez dire ...merci

Posté par
patrice rabillerre : Suite avec trigonométrie 11-03-19 à 17:21

Je reviens avec après 2 jours d'absence et j'ai raconté une bêtise (corrigée par gerreba que je remercie).

Il fallait lire bien sûr : \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}
Ceci permet d'en déduire, si [0;/2] : \cos\alpha=\sqrt{\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}} ou encore :   \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}.   (E)

Comme tu as fait l'initialisation (tu as du vérifier que la propriété était vraie pour n=0 et n=1), il reste à démontrer le caractère héréditaire de la formule :

Prenons un entier naturel n tel que u_n=\cos\dfrac{\alpha}{2^n}

Alors on sait que u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n+1}{2}}
Donc u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{\cos\frac{\alpha}{2^n}+1}{2}}
Donc, d'après (E) : u_{n+1}=\cos\dfrac{\frac{\alpha}{2^n}}{2}

Tu dois pouvoir conclure seul ...

Posté par
gerrebare : Suite avec trigonométrie 12-03-19 à 10:56

Bonjour Patrice Rabiller,
J'ai juste fait la remarque pour éviter à l'élève une surprise...
Nous faisons tous des erreurs d'inattention.


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