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Suite convergente à vauleurs dans Z
Bonjour,
j'ai ici l'énoncé d'un petit exercice théorique avec sa correction. Mais j'ai beaucoup de lacunes au niveau des Suites alors je me pose pas mal de questions ...
Voici l'énoncé :
Soit (Un) une suite à valeurs dans Z, convergente. Montrer, en utilisant la définition, que (Un) est stationnaire.
Correction :
Soit l la limite de (Un). Appliquons la définition d'une suite convergente avec Epsilon = 1/4.
IL existe un entier n0 € N tel que, pour n >= n0, on a
|Un - l| < 1/4
On a alors, d'après l'inégalité triangulaire
|Un - Un0| <= |Un-l| + |l-Un0| <= 1/4 + 1/4 = 1/2
Voilà alors pourquoi 1/4 pour Epsilon ? Je ne comprends déjà pas pourquoi la valeur d'epsilon est arbitraire ?
Ensuite, l'inégalité triangulaire je n'ai jamais compris d'où ça sortait ou comment on arrive à ce résultat
Merci de votre aide, bonne soirée
Bonsoir,
La définition de la limite doit commencer par un « » : autrement dit, comme c'est valable pour tout
, c'est valable en particulier pour une valeur qui nous arrange.
Ici, on choisit 1/4 car cela permet quand on applique l'inégalité triangulaire d'obtenir |Un - Un0| <= 1/2 < 1, ce qui est suffisant pour dire que la suite est stationnaire (puisque la suite est à valeurs entières).
On aurait très bien pu choisir 1/3, 1/5, 1/42, 1/452, etc. l'essentiel est que le double du nombre choisi soit strictement inférieur à 1 pour que tout marche bien dans l'inégalité triangulaire.
Sinon, pour l'inégalité triangulaire en elle-même, ça vient naturellement dans la démonstration normalement (du moins avec un peu d'habitude). Qu'est-ce qu'on veut montrer ? Que la suite est convergente. Comment ? En montrant qu'à un moment, nécessairement, l'écart entre les termes est inférieur à 1 (qui est l'écart entre deux entiers consécutifs). De là, on en vient à étudier |Un - Un0|... et la seule manière de pouvoir obtenir des infos à partir de ce qu'on sait est d'utiliser l'inégalité triangulaire...
Bonsoir Porcepic,
merci pour ta réponse.
Est-ce que pour l'inégalité triangulaire on doit appliquer le même genre de raisonnement que ci-dessous ?
|a + b|< |a| + |b|, pour tout a, b € R.
Preuve On a
- |a| <= a <= |a|
- |b| <= b <= |b|,
donc
- |a| - |b| <= a + b <= |a| + |b|
Merci encore
Sauf erreur, pour moi, ici tu démontres que a+b <= ||a|+|b|| = |a|+|b|... autrement dit ça ne permet pas de conclure.
Pour la démonstration de l'inégalité triangulaire, soit tu veux rester sur les réels et dans ce cas le plus simple (mais c'est long) est de distinguer les cas selon le signe de a et b... soit tu le démontres directement sur les complexes en partant du fait que .
Hello,
ok merci je vais essayer ça aujourd'hui 
A la base j'étais juste en train de m'avancer sur le programme de l'année prochaine en électronique quand je suis tombé sur une partie sur les Séries de Fourier, alors je me suis dis que j'allais réviser les séries et les suites avant de continuer :p !
Bonne journée
Après en avoir discuté avec un ami j'en suis arrivé à :
|Un - Un0| = | Un - l + l - Un0 |
or comme |a + b| <= |a| + |b|
|Un - Un0| <= | Un - l | + | l - Un0| <= 1/4 + (?)
Dernière zone d'ombre : pourquoi on a 1/4 + 1/4
ça voudrait dire que |l - Un0| <= 1/4 ?
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