Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Suite croissante de lancers de dés
Bonjour à tous,
On lance un dé équilibré plusieurs fois et on s'arrête lorsque la valeur obtenue est strictement inférieure à la précédente valeur obtenue.
Le résultat conservé est alors la somme des valeurs obtenues depuis le début y compris la dernière.
On gagne 1 euro lorsque ce résultat est supérieur ou égal à un seuil et on perd 1 euro sinon.
1) Quel est le résultat moyen ?
2) Quel est le nombre moyen de lancers de dé avant de s'arrêter ?
3) Quelle est la valeur maximale de pour laquelle il est intéressant de jouer ?
Bonjour GBZM,
Tu as le droit à toutes les techniques dont tu as envie tant qu'elles donnent le résultat voulu 
Je pense que c'est une solution comme une autre pour répondre à la question 2)
Pour les autres questions, je vois moins bien comment tu vas réussir à t'en servir.
Les questions 1 et 2 se résolvent de manières assez semblables, par résolution d'un système linéaire
Cliquez pour afficherBravo, je devine comment tu as fait et je ne vois pas vraiment comment faire mieux.
Mais alors est-ce que tu joues pour ?
D'après toi (et tu as raison évidemment) en moyenne tu obtiendras plus.
Il y un tout petit peu moins d'une chance sur deux de faire un résultat supérieur ou égal à 10 : à peu près 49,88%
Donc je présume que tu ne joues pas, à mon avis tu ne dois pas être du genre à jouer avec une espérance de gain négative même de pas beaucoup. C'est ton esclave numérique qui te l'a dit ?
Tout d'abord, le code Sagemath pour les questions 1 et 2 :
Gi est l'espérance de la somme des nombres tirés depuis un départ en position i (i=1,...,6) jusqu'à la fin du jeu.
Ei est l'espérance du nombre de tirages depuiis un départ en position i jusqu'à la fin du jeu.
G1 et E1 donnent les réponses aux questions 1 et 2.
G1,G2,G3,G4,G5,G6=var("G1,G2,G3,G4,G5,G6")
E1,E2,E3,E4,E5,E6=var("E1,E2,E3,E4,E5,E6")
G=[0,G1,G2,G3,G4,G5,G6]
E=[0,E1,E2,E3,E4,E5,E6]
EqG=[G[i]-7/2-sum(G[j] for j in range(i,7))/6 for i in range(1,7)]
solG=solve(EqG,G[1:],solution_dict=True)[0]
solGEqE=[E[i]-1-sum(E[j] for j in range(i,7))/6 for i in range(1,7)]
solE=solve(EqE,E[1:],solution_dict=True)[0]
solEPour la question 3, l'attaque par force brute consiste à produire toutes les histoires qui aboutissent à un résultat de n, pour calculer la probabilité d'aboutir à ce résultat. Pour cela on utilise la procédure Partitions(n,k), qui liste toutes les partitions de l'entier n en entiers inférieurs ou égaux à k.
def Partitions(n,k):
L=[n*[1]]
for i in range(2,min(n,k)+1) :
L = L+[p+[i] for p in Partitions(n-i,i)]
return L
def Histoires(n) :
H=[]
for m in range(1,6) :
for k in range (m+1,min(6,n-m)+1) :
H = H + [p+[k,m] for p in Partitions(n-m-k,k)]
return HExemple d'éxécution :
Histoires(7)[1, 1, 2, 2, 1],
[2, 2, 2, 1],
[1, 1, 1, 3, 1],
[1, 2, 3, 1],
[3, 3, 1],
[1, 1, 4, 1],
[2, 4, 1],
[1, 5, 1],
[6, 1],
[1, 1, 3, 2],
[2, 3, 2],
[1, 4, 2],
[5, 2],
[4, 3]]
def Proba(n) :
return sum(1/6^len(h) for h in Histoires(n))
1-sum(Proba(k) for k in range(10))Merci GBZM, je n'ai rien d'autre que la force brute pour la question 3) mais sinon on peut proposer une autre résolution pas forcément plus simple mais elle utilise un peu la combinatoire et je crois que tu aimes bien.
On appelle la valeur obtenue au néme lancer si on arrive jusque là.
Avant cela on a eu valeurs croissantes, cela correspond à mettre 5 séparateurs pour découper d'abord les 1 puis les 2 ... puis les 6.
Il faut choisir emplacements parmi les
emplacement possibles donc il y a
possibilités.
peut prendre toutes les valeurs avec la probabilité
Donc
On en déduit
On appelle le nombre de lancers
Annuler
connectez vous