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suite de matrice

Posté par
durdur 19-04-13 à 14:50

bonjour me voila coincer a une question sur les matrices, si vous pouvez m'aider ca m'eviterai de passer des heures supplementaires  car la j'en est mal a la tete tellement.

Une société possede trois entreprises P,Q et R. On designe par pn,qn, et r[sub]n[/sub] les gains respectifs en milliers d'euros, des entreprises P,Q et R pour l'année 2010+n

on suppose compte tenu de l'observation des années précédentes que p0 = 12, q0=16 et r0=10
on note la matrice Xn
Xn= (pn
     qn        et pour tout entier naturel n, Xn+1= AXn+C où A=( 0.5   0.25   0.25        et C=( 0
     rn)                                                                               0.25  0.5    0.25                3
                                                                                       0.25  0.25   0.5  )             -3)

on note I la matrice identité d'ordre 3.

1) a )            on a  X = (16
                             20
                             12
j'ai montre que X= AX + C

b) Yn = Xn - X
j'ai montrer que Yn+1= A Yn.

puis que Yn= Y0 * An

c) j'ai montrer que Xn = An(X0 - X) + X

2)a) on a B= 4A - 2I= ( 0 1 1
                               1 0 1
                               1 1 0)
b) j'ai montrer que B²= 2I + B

c) me voila ici ou je bloque.

demontrer par recurrence qu'il existe 2 suites (an) et (bn) tel que pour tout n , An= an I + bn B
avec pour tout n , an+1=0.5 an + 0.5 bn et bn+1= 0.25 an + 0.75bn.

voila j'ai mis precedemment toutes les question car peut etre l'une sert.
l'espression de an faut-il l'admettre ?
ou bien doit on partir du fait que 4A= B +2i ?

merci de votre aide

Posté par
petitetere : suite de matrice 19-04-13 à 15:39

bonjour

1) Tu supposes que ces deux suites existent

pour n = 0

A^0 = a_0 I + b_0 B

I = a_0 I + b_0 B

par identification :

a_0 = 1 et b_0 = 0

Donc tu as ainsi caractérisé les premiers éléments de ces suites!

Tu peux alors effectuer la vérification pour n = 1

Posté par
durdursuite de matrice 19-04-13 à 15:53

au rang n=1 je ne peux pas je ne connais ni a1 ni b1
je vais directement au rang n puis n+1 la non ?

Posté par
petitetere : suite de matrice 19-04-13 à 15:55

Vérification pour n = 1

\large A\ =\ \left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0.25 & 0.25\\0.25 & 0.5 & 0.25\\ 0.25 & 0.25 & 0.5 \end{array} \right)

\large A\ =\ \left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0\\0 & 0.5 & 0\\ 0 & 0 & 0.5 \end{array} \right) + \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0.25 & 0.25\\0.25 & 0 & 0.25\\ 0.25 & 0.25 & 0 \end{array} \right)

\large A\ =0.5 \ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) + 0.25 \ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)

donc \large A\ = 0.5 I + 0.25 B = a_1 I + b_1 B

car effectivement
a_1 = 0.5 a_0 + 0.5 b_0 = 0.5 \times 1 + 0.5 \times 0 = 0.5
et
b_1 = 0.25 a_0 + 0.75 b_0 = 0.25 \times 1 + 0.75 \times 0 = 0.25

Ainsi donc la vérification est finie!!

Posté par
petitetere : suite de matrice 19-04-13 à 15:58

Tu aussi partir du bas:
càd calculer d'abord a1 puis b1

ensuite faire a1I + b1B

et vérifier que c'est égal à A

Posté par
petitetere : suite de matrice 19-04-13 à 15:59

maintenant il te reste à suppose que c'est vrai à l'ordre n et démonstrer pour l'ordre n+1

Posté par
durdursuite de matrice 19-04-13 à 16:06

oui j'ai fait comme votre 2 eme proposition et ca marche je retrouve A à la fin.
pour n+1 je part du fait que
An+1= A*An= A( AnI + bn B)
et la j'utilise l'initialisation en disant que A= a1 I + b1 B ?

Posté par
petitetere : suite de matrice 19-04-13 à 16:20

tu dois utilisé ce que tu as déjà démontré!

A^{n+1} = A(a_n I + b_n B)

or tu as déjà démontré que B = 4A - 2I donc A = 0.25(B + 2I)

donc

A^{n+1} = 0.25(B + 2I)(a_n I + b_n B)

tu multiplies, tu vas trouver à quelque part un B^2,
Mais tu as aussi déjà démontré que:

B^2 = 2I + B

Donc tu le remplaces, tu calcules et tu simplifies, tu vois si le résultat est vérifié ou pas!

Posté par
durdursuite de matrice 19-04-13 à 16:50

exact ca marche. merci !

j'ai donc avancer et je me heurte a plusieurs autres questions bien difficiles
3) on pose Un=( an
                           bn)

a) determiner la matric M telle que pour tout n
Un+1= MU[sub]n[/sub]

alors M=( 0.5  0.5
          0.25 0.75

b) j'en est donc deduit Un en fonction de M et de U0

c) soit P=( 1  -2
            1   1 )    j'ai demontrer que p est inversible et que P-1=( 1/3  2/3
                                                                                   -1/3 1/3)

donc j'ai calcule D= P-1MP
D= (1 0
    0 1/4)

d) en deduire que Mn= 1/3( 1+2*0.25n    2-2*0.25n
                                      1-0.25n      2+0.25n

la je bloque j'ai dit que apres demonstration que Dn= P-1MP.P-1MP...P-1MP
que P-1P etait = à I donc que l'on obtenait
Dn= P-1MnP

Posté par
durdursuite de matrice 19-04-13 à 16:51

j'ai fait poster au lieu d'apercu^^

mais comment puisje donc passer de cette relation à Mn ?

merci

Posté par
petitetere : suite de matrice 19-04-13 à 19:34

Là maintenant tu as tout!!

D^n = P^{-1} M^n P

tu multiplies à gauche par P

P D^n = P P^{-1}M^n P = M^n P

tu multiplies à droite par P^{-1}

P D^n P^{-1} = M^n P P^{-1} = M^n

donc :

M^n = P D^n P^{-1}

Posté par
durdursuite de matrice 20-04-13 à 12:36

Effectivement j ai reussi a le retrouver je vous remercie.
J ai pu trouver an et bn

avec an= 1/3(1+2*0.25n
       et bn = 1/3 ( 1-0.25n)

Est ce exact ?

Posté par
petitetere : suite de matrice 20-04-13 à 14:05

C'est bien cela!

C'était un plaisir de travailler avec toi! Bonne suite à toi!

Posté par
durdursuite de matrice 21-04-13 à 12:30

Je vou remercie encore. Vous expliquez clairement. Merci

Posté par
Jean233re : suite de matrice 27-10-15 à 20:28

Bonjour, même si le sujet date un peu, cela me semblait inutile d'en créer un autre...

J'ai réussi à montrer que M^n = 1/3 ( 1 + 2*0.25^n   2- 2*0.25^n
                                                        1-1*0.25^n     2 + 0.25^n )

Suite à ça on me demande de déterminer les limites des suites (an), (bn), (Xn) et de la matrice A^n  mais je ne vois absolument pas comment procéder...

On sait que An=an*I3+bn*B  
Xn=An(X0-X)+X  
an+1= 0.5an+0.5bn  
bn+1= 0.25an+0.75bn

si vous avec besoin de d'autres informations, n'hésitez pas

merci d'avance


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