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Suite décroissante + primitive
Bonjour voici un sujet où je bloque,
Soit Un la suite définie sur 
par U0= 
de 0 à 1, 1/
1+x² dx
et pour tout entier n
1 Un = de 0 à 1, xn / 1+x² dx
Q : Prouver que la suite Un est décroissante. En déduire que Un est convergente.
J'ai trouvé que U1
U0 
2-1 ln(1+2) - ln1 mais je ne sais pas le prouver pour tout n
Voilà, merci à ceux qui m'aideront !
la FAQ du forum
équivalences des systèmes de niveaux scolairesBonjour,
Mais comment puis-je faire je ne connais pas Un+1 ?
Et oui le profil je fais cela de suite.
Cela donne donc Un+1 - Un =0à1 xn+1 / 1+x² - 0à1 xn / 1+x² = 0à1 x / 1+x² = U1 = résultat positif mais du coup c'est pas décroissant ....
tu devrais revoir les résultats sur les puissances 
Les puissances, cours de quatrième
Ok, J'obtiens donc :
de 0à1 xn (x-1) / 1+x²
A partir de là, est ce que j'effectue l'intégrale, je trouve la primitive et j'étudie le signe ou je peux directement étudier le signe ?
- Si je peux directement étudier le signe, ça donne :
On sait que Un appartient aux entiers naturels, alors xn est toujours positif, et 1+x² est également toujours positif donc le signe dépend uniquement de x-1.
x-1=0x=1 donc Un+1-Un est positif sur [0;1] et il est négatif sur [1;
]. Or la suite Un est définie pour tout entier n1 donc Un+1-Un est toujours négatif. Est ce que cela suffit ?
- Si je dois effectuer l'intégrale : la primitive me parait très compliquée, donc je penseque ce n'est pas cela ...
Ok, J'obtiens donc :
de 0à1 xn (x-1) / 1+x²
A partir de là, est ce que j'effectue l'intégrale, je trouve la primitive et j'étudie le signe surtout pas, ou je peux directement étudier le signe ?
- Si je peux directement étudier le signe, ça donne :
On sait que Un appartient aux entiers naturels, faux et je ne vois pas le rapport avec la question posée alors xn est toujours positif,
je ne sais pas pourquoi, à justifier et 1+x² est également toujours positif donc le signe dépend uniquement de x-1.
x-1=0
x=1 donc Un+1-Un est positif sur [0;1] et il est négatif sur [1;]. à nouveau Or la suite Un est définie pour tout entier n1 donc Un+1-Un est toujours négatif. Est ce que cela suffit ?
- Si je dois effectuer l'intégrale : la primitive me parait très compliquée, donc je penseque ce n'est pas cela ...
peux-tu faire de vraies démonstrations (si tant est qu'il en existe des fausses
)
démontre, raisonne et n'affirme pas
Je reprends :
Pour la suite Un :
- xn est toujours positif car la suite Un est définie pour tout n1 et xun nombre positif reste positif
- 1+x² est toujours positif pour la même raison
Et un positif divisé par un positif sera toujours positif donc le signe dépend de x-1
x-1=0x=1
Un+1-Un=0 quand pour x=1, Un+1-Un est négative sur [1;] (je ne vois mon erreur ici ?)
Vu que Un+1-Un sur l'intervalle considéré, la suite Un est décroissante
Je reprends :
Pour la suite Un :
- xn est toujours positif car la suite Un est définie pour tout n
1 et xun nombre positif reste positif
-
je t'arrête...
(-1) ^3 est négatif pourtant 3 est positif
AH je viens de comprendre c'est les n qui sont positifs mais pas forcément les x.
Du coup xn est positif quand n est pair et elle est négative quand n est impaire. Mais là elle ne sera pas décroissante...
Je suis bloqué ...
Ok merci,
- xn est toujours positif car 1n - 0n = 1n avec n 1
- 1+x² est toujours positif car 2 - 1 est positif
Le signe dépend de x-1
x-1=0 x=1
Donc Un+1-Un=0 quand pour x=1, Un+1-Un est négative sur [1;]
Un est donc une suite strictement décroissante.
Est-ce suffisant ?
Ok merci,
- xn est toujours positif car 1n - 0n = 1n avec n
1 je ne vois pas le rapport
-
1+x² est toujours positif car 2 - 1 est positif
Le signe dépend de x-1 le mot dépend n'a jamais donné une demonstration, c'est "a le même signe que " ou " a le signe contraire à " mais pas dépend
x-1=0
x=1
Donc Un+1-Un=0 quand pour x=1, Un+1-Un est négative sur [1;
]
Un est donc une suite strictement décroissante.
Est-ce suffisant ?
Ok,
-xn est toujours positif car de 0à1 xn = 1n - 0n = 1n avec n 1
- 1+x² est toujours positif car de0à1 = 2 - 1 est positif
de0à1 xn+1 / 1+x² - de0à1 xn / 1+x² a le même signe que x-1
x-1=0 x=1 mais je comprends pas pk vous barrez le reste ...
tu devrais revoir ton cours sur les intégrales
le fait d'écrire
te dit que le x est compris entre les bornes 0 et 1
à partir de là ton signe du quotient est évident
et comme 0 < 1
le signe de l'intégrale est tout aussi évident (théorème de la positivité)
le 0 est la borne du bas
le 1 est la borne du haut
dit autrement
veut dire que x est entre a et b
mais a est inférieur ou supérieur à b
donc pour pouvoir utiliser ton théorème de la positivité, tu dois vérifier le rangement de tes bornes
voir ici : Intégrale : un cours complet de terminale avec des exemples
D'accord merci, mais ais je fais une erreur car pour trouver 1n et 2 - 1 je n'ai pas utiliser de primitive, est ce que je dois en utiliser une ?
je ne vois pas d'où tu sors cela et ce que tu voudrais en faire
quand on calcule un+1-un et que tu en étudies le signe, tu as immédiatement ton résultat de croissance ou de décroissance...tu n'as besoin de rien d'autre
Je repars de la,
j'ai de0à1 xn(x-1) / 1+x²
je suis obligé d'utiliser les étapes que j'ai fais avant pour avoir le signe non ?
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