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Suite décroissante + primitive

Posté par
ExoTike
20-03-21 à 15:38

Bonjour voici un sujet où je bloque,

Soit Un la suite définie sur   par U0= de 0 à 1, 1/1+x² dx

et pour tout entier n1 Un = de 0 à 1, xn / 1+x² dx

Q : Prouver que la suite Un est décroissante. En déduire que Un est  convergente.

J'ai trouvé que U1U0 2-1 ln(1+2) - ln1 mais je ne sais pas le prouver pour tout n

Voilà, merci à ceux qui m'aideront !

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 15:47

Bonjour
et si tu évaluais  u_{n+1}-u_n pour en étudier son signe
....

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 16:07

Bonjour ExoTike,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 16:08

Bonjour,

Mais comment puis-je faire je ne connais pas Un+1 ?

Et oui le profil je fais cela de suite.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 16:12

si tu sais écrire u_n, tu sais aussi écrire u_{n+1}
...

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 16:38

Cela donne donc Un+1 - Un =0à1   xn+1 / 1+x² - 0à1   xn / 1+x² = 0à1  x / 1+x² = U1 = résultat positif mais du coup c'est pas décroissant ....

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 16:52

euh...

comment tu simplifies x^{n+1}-x^n toi ?

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 16:55

xn+1 - xn = xn + x1 - xn non ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 17:20

tu devrais revoir les résultats sur les puissances Les puissances, cours de quatrième

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 20-03-21 à 22:32

Ok du coup ça donne xn * x1 - xn mais je peux pas le simplifier.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 09:15

ben mets xn en facteur !
puis tu étudieras le signe de ta différence

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 13:37

Ok, J'obtiens donc :

de 0à1 xn (x-1) / 1+x²

A partir de là, est ce que j'effectue l'intégrale, je trouve la primitive et j'étudie le signe ou je peux directement étudier le signe ?

- Si je peux directement étudier le signe, ça donne :
On sait que Un appartient aux entiers naturels, alors xn est toujours positif, et 1+x² est également toujours positif donc le signe dépend uniquement de x-1.

x-1=0x=1 donc Un+1-Un est positif sur [0;1] et il est négatif sur [1;]. Or la suite Un est définie pour tout entier n1 donc Un+1-Un est toujours négatif. Est ce que cela suffit ?

- Si je dois effectuer l'intégrale : la primitive me parait très compliquée, donc je penseque ce n'est pas cela ...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 13:42

ExoTike @ 21-03-2021 à 13:37

Ok, J'obtiens donc :

de 0à1 xn (x-1) / 1+x²

A partir de là, est ce que j'effectue l'intégrale, je trouve la primitive et j'étudie le signe surtout pas, ou je peux directement étudier le signe ?

- Si je peux directement étudier le signe, ça donne :
On sait que Un appartient aux entiers naturels, faux et je ne vois pas le rapport avec la question posée alors xn est toujours positif, je ne sais pas pourquoi, à justifier et 1+x² est également toujours positif donc le signe dépend uniquement de x-1.

x-1=0x=1 donc Un+1-Un est positif sur [0;1] et il est négatif sur [1;]. à nouveau Or la suite Un est définie pour tout entier n1 donc Un+1-Un est toujours négatif. Est ce que cela suffit ?

- Si je dois effectuer l'intégrale : la primitive me parait très compliquée, donc je penseque ce n'est pas cela ...


peux-tu faire de vraies démonstrations (si tant est qu'il en existe des fausses )
démontre, raisonne et n'affirme pas

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 13:59

Je reprends :

Pour la suite Un :
- xn est toujours positif car la suite Un est définie pour tout n1 et xun nombre positif reste positif
- 1+x² est toujours positif pour la même raison
Et un positif divisé par un positif sera toujours positif donc le signe dépend de x-1

x-1=0x=1
Un+1-Un=0 quand pour x=1, Un+1-Un est négative sur                          [1;] (je ne vois mon erreur ici ?)

Vu que Un+1-Un sur l'intervalle considéré, la suite Un est décroissante

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:06

ExoTike @ 21-03-2021 à 13:59

Je reprends :

Pour la suite Un :
- xn est toujours positif car la suite Un est définie pour tout n1 et xun nombre positif reste positif
-


je t'arrête...
(-1) ^3 est négatif pourtant 3 est positif

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:12

AH je viens de comprendre c'est les n qui sont positifs mais pas forcément les x.

Du coup xn est positif quand n est  pair et elle est négative quand n est impaire.  Mais là elle ne sera pas décroissante...
Je suis bloqué ...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:16

ha...

quand tu écris cela :

u_n=\int_0 ^1 \frac {x^n}{\sqrt{1+x²}}\text d x

où est x ?

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:23

Ok merci,

- xn est toujours positif car 1n - 0n = 1n avec n 1
- 1+x² est toujours positif car 2 - 1 est positif

Le signe dépend de x-1
x-1=0 x=1
Donc Un+1-Un=0 quand pour x=1, Un+1-Un est négative sur [1;]

Un est donc une suite strictement décroissante.

Est-ce suffisant ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:29

ExoTike @ 21-03-2021 à 14:23

Ok merci,

- xn est toujours positif car 1n - 0n = 1n avec n 1 je ne vois pas le rapport
- 1+x² est toujours positif car 2 - 1 est positif

Le signe dépend de x-1 le mot dépend n'a jamais donné une demonstration, c'est "a le même signe que " ou " a le signe contraire à " mais pas dépend
x-1=0 x=1
Donc Un+1-Un=0 quand pour x=1, Un+1-Un est négative sur [1;]

Un est donc une suite strictement décroissante.

Est-ce suffisant ?

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:39

Ok,

-xn est toujours positif car de 0à1 xn = 1n - 0n = 1n avec n 1
- 1+x² est toujours positif car de0à1 = 2 - 1 est positif

de0à1 xn+1 / 1+x² - de0à1 xn / 1+x² a le même signe que x-1

x-1=0  x=1 mais je comprends pas pk vous barrez le reste ...

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:40

Deuxième tiret c'est de0à1 1+x² ...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 14:55

tu devrais revoir ton cours sur les intégrales
le fait d'écrire
\int_0 ^1 \dots \text d {\red x } te dit que le x est compris entre les bornes 0 et 1

à partir de là
ton signe du quotient est évident
et comme 0 < 1
le signe de l'intégrale est tout aussi évident (théorème de la positivité)

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 15:12

Je ne comprends pas d'où viens le 0 et 1 à la fin "comme 0<1"
Pouvez vous m'expliquer svp ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 15:38

le 0 est la borne du bas
le 1 est la borne du haut
dit autrement

\int_a^b \dots \text d x veut dire que x est entre a et b

mais a est inférieur ou supérieur à b

donc pour pouvoir utiliser ton théorème de la positivité, tu dois vérifier le rangement de tes bornes
voir ici : Intégrale : un cours complet de terminale avec des exemples

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 16:58

D'accord merci, mais ais je fais une erreur car pour trouver 1n et 2 - 1 je n'ai pas utiliser de primitive, est ce que je dois en utiliser une ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 17:13

je ne vois pas d'où tu sors cela et ce que tu voudrais en faire
quand on calcule un+1-un et que tu en étudies le signe, tu as immédiatement ton résultat de croissance ou de décroissance...tu n'as besoin de rien d'autre

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 17:18

Je repars de la,
j'ai de0à1 xn(x-1) / 1+x²
je suis obligé d'utiliser les étapes que j'ai fais avant pour avoir le  signe non ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 17:36

u_{n+1}-u_n=\int_0^1\frac {x^n(x-1)}{\sqrt{1+x²}}\text d x

0x1 donc \frac {x^n(x-1)}{\sqrt{1+x²}} \le 0

et pour tout n de N, \int_0^1\frac {x^n(x-1)}{\sqrt{1+x²}}\text d x \le 0

donc (un) est décroissante

fini

Posté par
ExoTike
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 19:40

Ah ok !
Merci beaucoup pour votre aide, bon week-end !

Posté par
malou Webmaster
re : Suite décroissante + primitive 21-03-21 à 19:47

c'est une question ultra classique que tu dois apprendre à maîtriser
Bonne soirée à toi aussi



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