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Suite définie de façon implicite

Posté par
Ramanujan
14-09-18 à 13:39

Bonjour,

Soit n \in \N^*, x \in \R et P_n (x) = \sum_{k=1}^n x^k -1

1/ Démontrer que \forall n \in \N^* : P_n(x)=0 admet une unique solution a_n sur ]0,+\infty[

Je vois pas comment faire.

Posté par
jsvdb
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 13:42

Bonjour Ramanujan.
P_n est une fonction continue et strictement croissante sur ]0;+\infty[ et P_n(0) = -1. Donc par le TVI ...

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 13:56

Il faut que je montre que P_n est strictement croissante ? Etude de fonction ?

Posté par
jsvdb
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:01

Si tu dérives, ça ce devrait pas être bien long ...

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:44

Je trouve :

\forall x \in ]0,+\infty[
P_n '(x) =  \sum_{k=1}^{n-1} k x^{k-1} >0

Donc la fonction P_n est strictement croissante sur ]0,+\infty[

Or : P_n (0) = -1 et \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} P_n (x) = + \infty

On a  : 0 \in [-1 , +\infty[

Ainsi l'équation P_n (x)=0 admet une unique solution sur  ]0,+\infty[ d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

2/ Démontrer que la suite (a_n)_{n \geq 1} est strictement croissante et majorée par \dfrac{1}{2}

Aucune idée ici n'ayant pas l'expression de la suite

Posté par
etniopal
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:53

Si  x   ]0 , +[  on a  Pn(x) < Pn+1(x) .

Posté par
Sylvieg
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:58

Bonjour,
As tu essayé de calculer  a1  et  a2  ?

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:15

P_1 (x) = x- 1
Or :  P_1 (a_1)=0 donc a_1 = 1

P_2 (x) = x^2 + x  -1
L'unique solution positive est : a_2 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}

Mais ça m'avance à quoi ?

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:22

bonjour,
tu peux calculer
Pn+1{n)=

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:33

veleda @ 14-09-2018 à 15:22

bonjour,
tu peux calculer
Pn+1{n)=


P_{n+1} (a_{n+1}) vous voulez dire ?

Posté par
Sylvieg
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:43

Ni  a1  ni  a2  ne sont inférieurs à  1/2 .
De plus  a2 < a1 .
Bizarre pour une suite strictement croissante et majorée par  1/2  

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:45

1=1   donc la suite ne peut pas   être majorée par 1/2

je n'arrive plus très bien à lire à l'écran  je n'ai peut ^tre  pas bien  lu

Posté par
Sylvieg
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:45

veleda  veut dire  Pn+1(an) . Pas d'erreur sur les indices.

Posté par
Sylvieg
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:47

Si veleda tu as bien lu  
Il y a une petite contradiction dans l'énoncé...

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:48

non,  tu calcules  Pn+1(n)

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:52

J'ai fait une erreur dans mon énoncé désolé

Montrer que la suite (a_n)_{n \geq 1 } est strictement décroissante et minorée par \dfrac{1}{2}

Je ne comprends pas le sens de calculer : P_n (a_{n+1})

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:57

bonjour Sylvieg
oui,la suite  n'est pas croissante  ni majorée  par 1/2

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:59

veleda @ 14-09-2018 à 15:57

bonjour Sylvieg
oui,la suite  n'est pas croissante  ni majorée  par 1/2


J'ai corrigé

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:12

tu peux exprimer

Pn+1(x)-Pn(x)=..

tu  sais que  Pn(n)=0

tu peux en déduire  Pn+1(n)

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:14

P_{n+1} (a_n) = \sum_{k=1}^{n+1} a_n^k - 1 = \sum_{k=1}^{n} a_n^k -1 + a_n ^{n+1}

Donc : P_{n+1} (a_n ) = P_{n} (a_n ) +  a_n ^{n+1}

Là je sais pas quoi en faire en plus j'ai même pas de a_{n+1} qui apparaît

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:14

Je trouve :

Donc : P_{n+1} (a_n ) =   a_n ^{n+1}

Posté par
DOMOREA
Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:35

bonjour,
Calcule P_n(x)-P_{n-1}(x)
Que peux-tu en déduire quant à P_{n}(a_{n-1})  et donc...

Pour la suite, calcule P_n(\frac{1}{2})

Posté par
etniopal
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:36

Puisque
    0 = Pn(an) < Pn+1(an+1) et
Pn+1(0) = -1
Pn+1 s'annule dans ]0 , an[
Comme Pn+1 ne s'annule  qu'en an+1  on a :  an+1   ]0 , an[

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:50

P_n (x) - P_{n-1} (x) = x^n

Donc : P_n (a_{n-1} )- P_{n-1}(a_{n-1}) = a_{n-1} ^n >0

Donc : P_n (a_{n-1} ) >  P_{n-1}(a_{n-1})

Mais je comprends pas l'intérêt de faire ça je n'ai pas de relation entre a_n et a_{n-1}

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:53

etniopal @ 14-09-2018 à 16:36

Puisque
    0 = Pn(an) < Pn+1(an+1) et
Pn+1(0) = -1
Pn+1 s'annule dans ]0 , an[
Comme Pn+1 ne s'annule  qu'en an+1  on a :  an+1   ]0 , an[


Je comprends rien

Posté par
DOMOREA
Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:56

ben P_{n-1}(a_{n-1})=0 donc P_n(a_{n-1})>0 et comme P_n est croissante tu as la relation immédiate entre a_net a_{n-1}

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:07

Je suis d'accord que : P_n (a_{n-1}) > 0

Ah je pense avoir enfin compris ! On remplace le 0 par P_n (a_n)

Ca donne : P_n (a_{n-1}) > P_n (a_n)

Par stricte croissance de P_n sur \R^{+*} : a_{n-1} > a_n

Donc la suite (a_n) est décroissante.

Je réfléchis à la suite.

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:17

bien,tu as fini par comprendre

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:23

Calculons : P_n (\dfrac{1}{2})

P_n (\dfrac{1}{2}) = \sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{2})^k -1

Or :  \sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{2})^k =(\dfrac{1}{2})^1 \dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n}}{1-\dfrac{1}{2}} = 1 - (\dfrac{1}{2})^{n}

Donc : P_n (\dfrac{1}{2}) =  - (\dfrac{1}{2})^{n} <0 = P_n (a_n)

Par croissance de la fonction P_n sur \R^{+*} :

a_n > \dfrac{1}{2}

D'où le résultat

Posté par
veleda
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:45

oui

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 18:12

3) Calculer la limite de la suite (a_n)_{n \geq 1}

Notons l la limite de la suite (a_n).
(a_n -l) est une suite décroissante et convergeant vers 0 elle est nécessairement positive donc :

\forall n \in \N^* : l \leq a_n \leq a_1

Par ailleurs : a_n > \dfrac{1}{2}
Par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges donc :
l \geq  \dfrac{1}{2}

On obtient l'encadrement suivant :

\forall n \in \N^* : \dfrac{1}{2} \leq l \leq a_n \leq a_1

Après je vois pas trop ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 18:14

Bonjour
et si tu utilisais la définition des a_n ?

Posté par
Sylvieg
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 18:37

Et si tu prenais l'habitude de donner l'énoncé entier au départ ?
Il arrive que des questions donnent des indices pour le début.
Et puis, connaître l'esprit de l'exercice ne fait jamais de mal.

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 19:35

lafol @ 14-09-2018 à 18:14

Bonjour
et si tu utilisais la définition des a_n ?


Elle est donnée à mon premier post

Posté par
Ramanujan
re : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 19:46

Par croissance de la fonction P_n j'obtient :

- (\dfrac{1}{2} )^n \leq P_n(l) \leq P_n(a_n)=0

D'après le théorème des gendarmes : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P_n (l)=0

On cherche l :

Mais l \ne 1 car l <1

Donc : P_n (l) = l \times \dfrac { 1 - l^n}{1-l} -1

Or l \in ]-1 ,1[

donc : \\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  l^n = 0

Alors : \dfrac{l}{1-l} = 1

Finalement : l = \dfrac{1}{2}

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