Niveau autre

Suite définie par une intégrale

Posté par
Metaa 10-08-18 à 10:59

Bonjour,

Je suis bloqué à un exercice concernant une suite définie par une intégrale : Soit $\large (I_n)= \int_{0}^{1}{\frac{x^n}{1+x}}dx$

Je dois dans un premier temps montrer que cette suite est décroissante, minorée par 0 et qu'elle converge. Je me demandais si ce que j'avais écrit était correct.

Je suis parti sur un raisonnement par récurrence en montrant l'égalité suivante : $\large 0\leq I_{n+1}\leq I_n$

Je fais l'initialisation, puis l'hérédité, je suppose qu'il existe un rang p tel que la propriété est vraie : c'est à dire que $0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p}}{1+x}}dx$ et je montre que je dois la prouver au rang p+1

Donc je commence en partant de l'hypothèse de récurrence :

$0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p}}{1+x}}dx$
Je multiplie ensuite toute l'égalité par x
$0\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p}}{1+x}}dx$
$\large 0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}\times x}{1+x}}dx\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p}\times x}{1+x}}dx$
$\large 0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+2}}{1+x}}dx\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx$

$\large 0\leq I_{p+2}\leq I_{p+1}$

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par re : Suite définie par une intégrale 10-08-18 à 11:09

note déjà que tu n'as vraiment pas besoin de faire une récurrence
entre 0 et 1, xⁿ⁺¹ xⁿ xⁿ⁺¹/(1+x) xⁿ /(1+x) I_n+1 I_n

tu n'as pas le droit de faire rentrer comme ça un x dans une intégrale

xf(x) dx xf(x) dx

Posté par re : Suite définie par une intégrale 10-08-18 à 11:20

Merci beaucoup pour votre aide. Je prends note de cette indication pour ne plus faire cette erreur.

D'accord, je viens de saisir la méthode. Merci encore.

Posté par re : Suite définie par une intégrale 10-08-18 à 13:35

Salut,

Si tu prouves qu'une suite est décroissante et minorée alors elle converge.