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Suite définie par une intégrale

Posté par
Metaa
10-08-18 à 10:59

Bonjour,

Je suis bloqué à un exercice concernant une suite définie par une intégrale : Soit \large (I_n)= \int_{0}^{1}{\frac{x^n}{1+x}}dx

Je dois dans  un premier temps montrer que cette suite est décroissante, minorée par 0 et qu'elle converge. Je me demandais si ce que j'avais écrit était correct.

Je suis parti sur un raisonnement par récurrence en montrant l'égalité suivante : \large 0\leq I_{n+1}\leq I_n

Je fais l'initialisation, puis l'hérédité, je suppose qu'il existe un rang p tel que la propriété est vraie : c'est à dire que 0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p}}{1+x}}dx et je montre que je dois la prouver au rang p+1

Donc je commence en partant de l'hypothèse de récurrence :

0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p}}{1+x}}dx
Je multiplie ensuite toute l'égalité par x
0\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p}}{1+x}}dx
\large 0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}\times x}{1+x}}dx\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p}\times x}{1+x}}dx
\large 0\leq \int_{0}^{1}{\frac{x^{p+2}}{1+x}}dx\leq x\int_{0}^{1}{\frac{x^{p+1}}{1+x}}dx

\large 0\leq I_{p+2}\leq I_{p+1}

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite définie par une intégrale 10-08-18 à 11:09

note déjà que tu n'as vraiment pas besoin de faire une récurrence
entre 0 et 1, xn+1 xn xn+1/(1+x) xn /(1+x) In+1 In

tu n'as pas le droit de faire rentrer comme ça un x dans une intégrale

xf(x) dx xf(x) dx

Posté par
Metaa
re : Suite définie par une intégrale 10-08-18 à 11:20

Merci beaucoup pour votre aide. Je prends note de cette indication pour ne plus faire cette erreur.

D'accord, je viens de saisir la méthode. Merci encore.

Posté par
kolossal_talent
re : Suite définie par une intégrale 10-08-18 à 13:35

Salut,

Si tu prouves qu'une suite est décroissante et minorée alors elle converge.

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