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Suite et accroissement finis.

Posté par
matheux14
17-04-21 à 04:44

Bonjour ,

Merci d'avance.

On considère la suite (un) définie par : u0= 0 et \forall n \in \N , u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+20}.

1) Démontrer que : \forall n \in \N , un ≥ 0.

2) Démontrer que : \forall n \in \N , | un+1 -5| ≤ 0,2 | un-5|.

3) En déduire que : \forall n \in \N , |un-5| ≤ 5(0,2)n.

4) En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Réponses

3) \forall n \in \N ,

| un+1 -5 | ≤ 0,2|un-5|

C'est à dire \forall k \in \N ,

| uk+1 -5 | ≤ 0,2|uk-5|

Pour k= 0 ,| u1 -5 | ≤ 0,2|u0-5|

Pour k=1 , | u2 -5 | ≤ 0,2|u1-5|

Pour k=2 , | u2 -5 | ≤ 0,2|u2-5|
:
:
Pour k=n-1 , | un -5 | ≤ 0,2|un-1-5|

Produits membres à membres :

|u1-5|×|u2-5|×...×|un-5| ≤ (0,2)n |u0-5| × |u1-5| ×... × |un-1|

==> |un-5| ≤ (0,2)n|un-1-5|

Là je bloque.. comment transformer le membre de droite ?

Posté par
Zormuche
re : Suite et accroissement finis. 17-04-21 à 06:01

Bonjour

ton membre de droite, ça ne devrait pas être  (0{,}2)^n|u_{n-1}-0{,}5|   mais   (0{,}2)^n|u_0-0{,}5|

remarque : d'habitude, cette question se traite par récurrence très rapidement, mais tu as choisi un autre chemin, c'est très bien. Mais ici tu te heurtes à un tout petit problème qui se rectifie facilement :

s'il existe un  k  tel que  |u_k-0{,}5|=0  , comment tu fais pour diviser ? la réponse : tu peux pas ... donc va falloir supposer qu'aucun n'est nul
Mais c'est pas un vrai problème. Tu peux par la suite combler cette lacune en montrant que de toute façons, si l'un était nul, alors l'inégalité serait vérifiée instantanément

Posté par
Zormuche
re : Suite et accroissement finis. 17-04-21 à 06:02

oups j'ai remplacé tous les  5  par des  0{,}5 ...



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