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Suite et blocage

Posté par
ValerieJB 23-09-18 à 12:39

Bonjour,

Je suis complètement bloquée avec cet énoncé :

Soit x un réel différent de 1. Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n,

1+x+x2+...+xn = 1-xn+1/1-x

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 12:45

Bonjour

il manque des parenthèses et des exposants  je ne parle pas des indices

x_0+x_1+x_2+\dots+x_{n-1}+x_n=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}

pas besoin de récurrence  
si l'on appelle S cette somme que vaut xS et que vaut la différence S-xS

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 12:47

au temps pour moi

1+x+x^2+x^3+\dots +x^{n-1}+x^n==\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}

le reste sans changement

Posté par
ValerieJBre : Suite et blocage 23-09-18 à 12:51

Bonjour hekla,

Merci pour la rapidité de votre réponse. Il n'y a donc pas besoin de récurrence. Faut il donc passer tout de suite à l'hérédité ?

Vous avez raison : je ne possède pas encore assez d'expérience pour mettre les exposants et les parenthèses...mais je vais essayer de m'améliorer !

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 12:53

pas de récurrence donc pas d'initialisation pas d'hérédité

Posté par
ValerieJBre : Suite et blocage 23-09-18 à 13:30

Pourtant l'énoncé précise de démontrer par récurrence...

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 14:12

on peut toujours écraser une mouche avec un marteau-pilon

vrai  si  x\not=1 \quad1=\dfrac{1-x}{1-x}

que vaut alors  \dfrac{1-x^{n-1}}{1-x}+x^{n+1} ,

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 14:13

lire   \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1} ,

Posté par
ValerieJBre : Suite et blocage 23-09-18 à 15:08

Merci de votre réponse. Par contre , je ´ai pas encore vu la méthode que vous m'indiquez et je n'arrive pas suivre votre démonstration.

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 15:30

initialisation  on commence à n=0
le premier terme est donc 1
si on utilise la formule on a \dfrac{1-x^1}{1-x} ce qui est bien égal à 1 si x est différent de 1

hypothèse de récurrence 1+x+x^2+\dots+x^{n-1}+x^n=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}

on montre alors qu'elle est vraie aussi à l'ordre n+1

c'est-à-dire 1+x+x^2+\dots+x^{n-1}+x^n+x^{n+1}\stackrel{?}{=}\dfrac{1-x^{n+1+1}}{1-x}

en utilisant l'hypothèse de récurrence on a à calculer \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1} , ce que j'avais écrit précédemment

Posté par
ValerieJBre : Suite et blocage 23-09-18 à 15:41

merci de votre réponse.

Je suis d'accord avec vous mais je comprends qu'on utilise bien la récurrence et l'hérédité contrairement à votre premier post.

Encore merci et bonne fin de dimanche.

Posté par
heklare : Suite et blocage 23-09-18 à 15:49

la première fois je n'avais écrit que ce qu'il fallait faire  la seconde j'ai détaillé


sans récurrence

S= 1+x+x^2+\dots+x^{n-1}+x^n

xS=x\left( 1+x+x^2+\dots+x^{n-1}+x^n\right)

xS= x+x^2+\dots+x^{n-1}+x^n+x^{n+1}

on soustrait  tous les termes s"éliminent sauf le premier et le dernier

x-xS=S(1-x)= 1-x^{n+1}

on divise S=\dfrac{1-x^{x+1}}{1-x} \quad x\not=1}

plus rapide et plus simple


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