Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Suite et complexe tres complexe: Help!

Posté par triniti (invité) 22-02-05 à 23:48

Bonjour, j'ai un petit probleme sur un exo coriace :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, , ). (Unité graphique : 1 cm). Soient les nombres complexes a = (voir formule ratachée) et zo = 6 + 6i d'image Ao .
Pour tout n entier naturel non nul, on désigne par An le point d'affixe zn définie par zn = anzo.

Partie A

1. Exprimer z1 et a2 sous forme algébrique.
Écrire z1 sous forme exponentielle et montrer que a2 = 1/2 ei/6.

2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a2 ; en déduire l'expression de z3 et z7 sous forme exponentielle.

3. Placer les points A0, A1 , A3 et A7 images respectives des complexes z0, z1 , z3 et z7 .

Partie B

Pour tout n entier naturel, on pose IznI = rn.

1. Montrer que, pour tout n de , rn = 12(2/2)n+1

2. En déduire que la suite (rn)n est une suite géométrique dont on préci­sera le premier terme et la raison.

3. Déterminer la limite de la suite (rn) et interpréter géométriquement le résul­tat obtenu.

4. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que OAp10-3 et donner alors une mesure de l'angle orienté (, OAp )

Le debut de l'exercice reste relativement simple mais je suis vite bloqué. J'espere que vous pourrez m'apporter des elements de reponse.

Merci d'avance

Suite et complexe tres complexe: Help!

Posté par
ciocciure : Suite et complexe tres complexe: Help! 22-02-05 à 23:53

salut triniti et t bloquée où excatement et qu'as tu déjà trouvé?

Posté par raulic (invité)re : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 10:20

Première question

1-
Z1=a*Z0
Z1=(\frac{\sqrt{3}+1}{4}+i\frac{\sqrt{3}-1}{4})*(6+6i)
Z1=3+3\sqrt{3}i

a2=(\frac{\sqrt{3}+1}{4}+i\frac{\sqrt{3}-1}{4})^2
a2=\frac{1}{4}(\sqrt{3}+i)

Z1=3+3\sqrt{3}i
Z1=6(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)
Z_1=6 e^{i\frac{\pi}{3}}

a2=\frac{1}{4}(\sqrt{3}+i)
a^2=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2})
a^2=\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}







Posté par
paulore : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 13:03

bonjour, je vais prendre la suite, je trouve pareil pour la 1° question.

z_3=a^3 \times z_0
              =a^2 \times az_0
              =a^2 \times z_1


z_7=a^7 \times z_0
              =(a^2)^3\times az_0
              =(a^2)^3\times z_1

j'arrete momentanement car je dois aller sejeuner et c'est un peu plus long car j'ai voulu utiliser le latex
a tout a l'heure





Posté par raulic (invité)re : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 13:42

La suite
z_3=a^2.Z_1=\frac{1}{2}.e^{\frac{i\pi}{6}}.6e^{\frac{i\pi}{3}}
z_3=3e^{i(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})}
z_3=3e^{i\frac{\pi}{2}}

z_7=(a^2)^3.Z_1=(\frac{1}{2}.e^{\frac{i\pi}{6}})^3.6e^{\frac{i\pi}{3}}
z_7=\frac{1}{8}.e^{3\frac{i\pi}{6}}.6e^{\frac{i\pi}{3}}
z_7=\frac{1}{8}.e^{\frac{i\pi}{2}}.6e^{\frac{i\pi}{3}}
z_7=\frac{3}{4}.e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})}
z_7=\frac{3}{4}.e^{i\frac{5\pi}{6}}








Posté par raulic (invité)re : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 14:01

Partie B

r_n=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^n * \frac{\sqrt{2}}{2}

r_1=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{1+1}=6

C'est vrai car Z1=6...

Ca marche au rang 1, donc il reste à prouver que ça marche à un rang n+1 quand ça marche au rang n

r_n=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^n * \frac{\sqrt{2}}{2}

r_{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{(n+1)+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1} * \frac{\sqrt{2}}{2}


Posté par raulic (invité)re : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 14:12

La suite

r_n=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}

r_{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1+1}
r_{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}*\frac{\sqrt{2}}{2}
r_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}r_n

On a donc une suite géométrique de raison \frac{\sqrt{2}}{2}

r_1=6
r_2=r_1.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2-1}
r_3=r_1.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3-1}

r_n=r_1.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}









Posté par raulic (invité)re : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 14:26

3-
\lim_{n\to +\infty} r_n=\lim_{n\to +\infty}(6(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1})=0

4-
on veut donc
6.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}<10^{-3}
(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}<\frac{10^{-3}}{6}
(n-1)ln(\frac{\sqrt{2}}{2})<ln(\frac{10^{-3}}{6})
n>1+\frac{ln(\frac{10^{-3}}{6})}{ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) changement de signe car ln(V2/2)<0
n>27.1
donc n=28

Posté par
paulore : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 14:43

me revoila
pour la mise en forme des points je le fairai a la fin.

partie B

r_0=\sqrt{72} =\sqrt{2\times 36
              =6\times \sqrt 2
              =12\times\sqrt 2 \times1/2

r_1  peut etre mis sous la forme (12\times\sqrt 2)\times1/4

on va donc faire un resonnemeent par recurrence . on suppose la relation vraie pour r_n et la demontrer pour
r_{n+1}

r_{n+1} = 12((\sqrt2)/2)^{n+2}

             = 12((\sqrt2)/2)^{n+1} \times (\sqrt2)/2

on voit donc que le premier terme est r_o et que la raison de la progression geometrique est \sqrt2 /2

3  . la limite est O puis que le terme \sqrt2 /2 est < 1


voila pour l'instant je continuerai plus tard  .  J'ai besoin de faire des progres en latex.

Posté par raulic (invité)re : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 15:14

Petites erreurs car j'ai pris Z1 comme point initial et non Z0

Partie B

r_n=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^n * \frac{\sqrt{2}}{2}

r_0=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{0+1}=6\sqrt{2}

C'est vrai car

Z_0=6+6i=6\sqrt{2}*(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})
Z_0=6\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}

Ca marche au rang 0, donc il reste à prouver que ça marche à un rang n+1 quand ça marche au rang n

r_n=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^n * \frac{\sqrt{2}}{2}

r_{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{(n+1)+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1} * \frac{\sqrt{2}}{2}
La suite

r_n=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}

r_{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1+1}
r_{n+1}=12(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n+1}*\frac{\sqrt{2}}{2}
r_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}r_n

On a donc une suite géométrique de raison \frac{\sqrt{2}}{2}

r_0=6\sqrt{2}
r_2=r_0.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
r_3=r_1.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}

r_n=r_0.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}

3-
\lim_{n\to +\infty} r_n=\lim_{n\to +\infty}(6\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n})=0

4-
on veut donc
6\sqrt{2}.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}<10^{-3}
(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}<\frac{10^{-3}}{6\sqrt{2}}
n.ln(\frac{\sqrt{2}}{2})<ln(\frac{10^{-3}}{6\sqrt{2}})
n>\frac{ln(\frac{10^{-3}}{6\sqrt{2}})}{ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) changement de signe car ln(V2/2)<0
n>26.1
donc n=27

On a
Z_n=Z_0.a^n
Z_n=6\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}*(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{12}})^n
Z_n=6\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}*(\frac{\sqrt{2}}{2})^n.e^{ni\frac{\pi}{12}}

Donc Pour Z27, on a

(u;OAp)=\frac{\pi}{4}+27\frac{\pi}{12}
        =\frac{5\pi}{2}
        =\frac{\pi}{2}

Enfin fini

Matthieu










Posté par
paulore : Suite et complexe tres complexe: Help! 23-02-05 à 15:17

me revoila avec la figure de la partie A

a plus tard . C'etait un sujet interessant

Posté par
pauloprobleme 23-02-05 à 15:26

Bonjour,

J'ai un petit problème car j'ai voulu mettre une figure in ferieure à 30 ko sur le topic du forum lycée: "Suite et complexe trés complexe: Help!", et 3 fois de suite elle n'a pas voulu passer alors que mes autres figures sont elles trés bien passées. Quand j'ai fait l'aperçu à la fin de mon message la figure était présente;

Merci de me dire qu'elle était le problème;

Paulo

*** message déplacé ***


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !