Niveau première

suite et désintégration de l'uranium 234

Posté par
fibopicara 12-05-12 à 12:04

Salut, tous le monde
j'ai un exercice sur lequel je suis bloqué ou pas sur de ma réponse.
L'uranium 234 est un corps radioactif qui se désintègre en thorium 230, en émettant des particules $\alpha$ .
Le taux d'atomes d'uranium 234 désintégrés en thorium 230 est de 0,0276% par siècle. On appelle "demi-vie" d'un corps radioactif le temps nécessaire à la désintégration de la moitié de ses atomes.
a) Justifiez que déterminer la demi-vie de l'uranium 234 revient à déterminer l'entier naturel n à partir duquel 0,999724ⁿ $\le$ 0,5. Utilisez la calculatrice ou le tableur pour résoudre ce problème.
b) le thorium 230 est lui-même instable et se désintègre en radium 226. Sa demi-vie est de 76000ans. A l'aide de la calculatrice (ou d'un tableur) déterminez le taux d'atomes de thorium 230 désintégrés par siècle.

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j'ai répondu :
a) par n siècle on sait qu'il y a 0,0276% d'atome d'uranium en moins
donc le taux = 1- $\frac{t}{100}$ =1- $\frac{0,0276}{100}$ =0.999724
Il y a 0,999724 atome d'uranium en moins en n siècle donc 0,999724ⁿ
et 0,5 représente la désintégration de la moitié des atomes
donc on a 0,999724ⁿ $\le$ 0,5
b)je pence que cela revient a résoudre : n⁷⁶⁰⁰⁰ $\le$ 0,5
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
merci à l'avance pour vos réponse

Posté par re : suite et désintégration de l'uranium 234 12-05-12 à 14:47

Salut, moi je changerai deux trois petites choses :

1)Déjà dans ton titre tu fais référence aux suites, mais tu n'en parles pas dans tes réponses.

2) dans ta première réponse, si $n$ est en siècles, alors ta phrase "Il y a 0,999724 atome d'uranium en moins en n siècle" est fausse. Il faut dire : Il y a 0,999724 atome d'uranium en moins par siècle"...autrement dit et dit autrement, pour tout entier naturel n, si on note $u_n$ la quantité d'atomes d'uranium au n-ième siècle alors au siècle suivant, il y en a : $0,999724 \times u_n$ , c'est à dire $u_{n+1}=0,999724 \times u_n$ .
Ainsi, la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique, de premier terme $u_0=1$ (car il s'agit d'une quantité), et de raison 0,999724, d'où (Cf. le cours) on peut ecrire que :pour tout n entier naturel on a : $(u_n)=u_0*0,999724^n=0,999724^n$ .
Ensuite ta conclusion me semble acceptable.

3) La question b) ne me semble pas vraiment réaliste (il manque une hypothèse)...mais bon...
Donc ta réponse est fausse, ce n'est pas ça qui est recherché....en plus ta réponse n'est pas très cohérente, car 76 000 c'est des années et n c'est des siècle, et surtout on cherche une quantité alors que ton inconnue est une année.

Que proposes tu alors pour la question b ?

Arnaud.

Posté par re : suite et désintégration de l'uranium 234 13-05-12 à 12:26

merci Olivski pour ta réponse très détaillée.
j'avoue que j'ai beaucoup de difficultés sur cette exercice même avec tes explications .
déjà pour la a) la deuxième étape est de résoudre 0.999724ⁿ $\le$ 0.5 avec la calculatrice ou le tableur.
j'ai trouvé n $\le$ 2511.1 siècle
et pour la b) cela reviendrai à résoudre :
n⁷⁶⁰ $\le$ 0.5 ?????????
puisque l'on me demande de trouver le taux d'atomes de thorium 230 désintégrés par siècle?????
encore merci de ton aide j'ai un peu mieux compris ce que l'exercice attend de moi.

Posté par re : suite et désintégration de l'uranium 234 14-05-12 à 01:48

Salut fibopicara,

a) Ce n'est pas tout à fait ça : es-tu sur du sens du sens de ton inégalité ? Essaye de le traduire en français.

b)Non ce n'est pas ça. Mais comme je le disais, l'énoncé n'est pas précis...mais vue que tu dois être sur les suite géométrique je pense qu'il faut le prendre de la façon suivante:
Suppose que l'on part d'une quantité $q_0$ de thorium. En notant $\beta$ la constante de désintégration du thorium, à l'année $n=1$ il reste une quantité $q_1=q_0*\beta$ de thorium (bien évidement $\beta$ est compris entre 0 et 1 strictement). Et l'énoncé te dis que $q_{76000}=\frac{1}{2} \times q_0$ . D'autre part pour tout entier naturel $n$ , $q_n=\beta^n*q_0$ , donc en particulier pour $n=76000$ on a : $q_{76000}=\beta^{76000}*q_0=\frac{1}{2}*q_0$ . Et ce que tu cherches, c'est $\beta$ , et non $n$ ...ce n'est pas comme à la question précédente.

Bonne soirée,

Posté par re : suite et désintégration de l'uranium 234 14-05-12 à 20:58

merci mais je ne pense pas que j'ai la bonne réponse encore
b) c=cst de désintégration du thorium
1 $\ge$ c $\ge$ 0
q= quantité de thorium
Q₀*c⁷⁶⁰ $\ge$ $\frac{1}{2}$
Q₀=1 ???
c $\ge$ -0.99909
c=1- $\frac{x}{100}$ = -0.99909
$\equiv$ x=199.91%
mais ce résultat me parait faux
merci encore de votre patience.

Posté par re : suite et désintégration de l'uranium 234 03-10-13 à 19:37

dN/dt = - N * lambda

lambda = 0,000276/siècle = 0,00000276/an

N/No = exp(- lambda * t)

1/2 = exp(- lambda * demi-vie ) = exp(- lambda * période )

Log (2) = lambda * demi-vie = lambda * période

période = Log (2) / lambda = 0,69315 / 0,00000276 = 251140 ans

Posté par une petite question de plus 03-05-15 à 13:39

Bonjour, je me retrouve avec le même exercice à faire mais j'ai une question de plus
c) Que devient le thorium 230 après 152 000 ans
J'aimerais savoir si on utilise la même méthode que pour le b) car on nous donne une aide qui est ( Pour résoudre l'équation X^760 = 0.5, on calcule 0.5^1/760) et on nous précise qu'il faut partir du principe où le thorium a été séparé de l'uranium donc aucun atome de Thorium ne se forme pendant la désintégration en radium 226.
Merci de me répondre

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