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suite et factorielle

Posté par
celineee19
26-10-14 à 09:32

Bonjour,
J'ai un exercice à faire que j'ai déjà commencé mais je bloque pour la récurrence.
L'énoncé est :
(Un) définie par U0=1 et U1= 1 et n, Un+2= (n+1)(Un+1+Un)
Montrer à l'aide démonstration par récurrence d'ordre 2 que :
n, n1, (n-1)
Unn!
En déduire lim Un
            n+
J'ai commencé à faire l'initialisation:
U0=1 et (0-1)!U00!  
-1!11
U1=1 et 0!U11!
propriété vraie pour n= 0 et n= 1

Ensuite l'hérédité:
Supposons qu'il existe un entier n tel que : (n-1)!Unn!  et (n)!Un+1n+1!
Démontrons que (n+1)!Un+2n+2!
On sait que Un+2= (n+1)(Un+1+Un)
Et la je suis bloquéé...

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 09:37

D'après tes deux premiers encadrements, un+un+1 est compris entre (n-1)!+n! et n!+(n+1)!

Ensuite multiplie cet encadrement par n+1.

Posté par
celineee19
re : suite et factorielle 26-10-14 à 09:50

D'accord donc cela fait:
(n+1)(n-1)!+n!(n+1)(Un+1+Un)(n+1)n!+(n+1)!
Je développe avec le n+1 de chaque côté de l'encadrement?

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 10:01

Attention tu oublies des parenthèses.

Ensuite il te reste à montrer que le terme de gauche est bien supérieur ou égal à (n+1)! et que celui de droite est bien inférieur ou égal à (n+2)!. Indice : divise à chaque fois par n! pour simplifier.

Posté par
celineee19
re : suite et factorielle 26-10-14 à 10:26

(n+1)((n-1)!+n!)(n+1)!
(n+1)((n-1)n!+n!)(n+1)n!
n²-1²+n!(n+1)

(n+1)(n!+(n+1)!) (n+2)!
(n+1)(n!+(n+1)n!n+2n!
(n+1)(n!+(n+1))(n+2)
Je ne suis pas sûre de la dernière ligne...

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 14:12

Attention (n-1)! n'est pas égal à (n-1)n!

(n+1)((n-1)!+n!)(n+1)!
<=> (n-1)!+n!n!
<=> (n-1)!(1+n)n!
<=> 1+nn qui est vrai pour tout entier n.

Pour l'autre intégalité :

(n+1)(n!+(n+1)!)(n+2)!
<=> (n+1)(n!)(1+(n+1))(n+2)(n+1)n!
<=> (n+1)(n+2)(n+2)(n+1) qui est vrai, c'est même une égalité.

Posté par
celineee19
re : suite et factorielle 26-10-14 à 15:41

Je ne comprend juste pas comment on passe de la 1ère à la 2ème ligne dans la deuxième inégalité et pourquoi multiplie t-on par (n+1)n!  ?

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 15:48

Je ne multiplie rien du tout, j'ai juste factorisé la somme (n! + (n+1)!) par n!

Posté par
celineee19
re : suite et factorielle 26-10-14 à 16:08

Ah oui je viens de tout comprendre notamment les factorielles que je n'ai vu que rapidement en cours..
Du coup pour la limite de la suite Un je me sers de l'encadrement donné et je cherche les limites de (n-1)! et de n! ?

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 16:14

oui, enfin il n'y a pas grand chose à chercher...

Posté par
celineee19
re : suite et factorielle 26-10-14 à 16:19

Elle tend vers + non?

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 16:21

Ah oui sans l'ombre d'un doute !

Posté par
celineee19
re : suite et factorielle 26-10-14 à 16:26

Une dernière question : je m'étais trompé pour le (n-1)!.. Ceci est égale à (n-1)(n-2)! ?

Posté par
blumaise
re : suite et factorielle 26-10-14 à 16:30

oui !



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