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Niveau autre
suite et factorielle
Posté par celineee19
Bonjour,
J'ai un exercice à faire que j'ai déjà commencé mais je bloque pour la récurrence.
L'énoncé est :
(Un) définie par U0=1 et U1= 1 et 
n
, Un+2= (n+1)(Un+1+Un)
Montrer à l'aide démonstration par récurrence d'ordre 2 que :
n, n
1, (n-1)
Unn!
En déduire lim Un
n
+
J'ai commencé à faire l'initialisation:
U0=1 et (0-1)!U00!
-1!11
U1=1 et 0!U11!
propriété vraie pour n= 0 et n= 1
Ensuite l'hérédité:
Supposons qu'il existe un entier n tel que : (n-1)!Unn! et (n)!Un+1n+1!
Démontrons que (n+1)!Un+2n+2!
On sait que Un+2= (n+1)(Un+1+Un)
Et la je suis bloquéé...
D'après tes deux premiers encadrements, un+un+1 est compris entre (n-1)!+n! et n!+(n+1)!
Ensuite multiplie cet encadrement par n+1.
D'accord donc cela fait:
(n+1)(n-1)!+n!(n+1)(Un+1+Un)(n+1)n!+(n+1)!
Je développe avec le n+1 de chaque côté de l'encadrement?
Attention tu oublies des parenthèses.
Ensuite il te reste à montrer que le terme de gauche est bien supérieur ou égal à (n+1)! et que celui de droite est bien inférieur ou égal à (n+2)!. Indice : divise à chaque fois par n! pour simplifier.
(n+1)((n-1)!+n!)(n+1)!
(n+1)((n-1)
n!+n!)(n+1)n!
n²-1²+n!(n+1)
(n+1)(n!+(n+1)!) (n+2)!
(n+1)(n!+(n+1)n!n+2n!
(n+1)(n!+(n+1))(n+2)
Je ne suis pas sûre de la dernière ligne...
Attention (n-1)! n'est pas égal à (n-1)n!
(n+1)((n-1)!+n!)(n+1)!
<=> (n-1)!+n!n!
<=> (n-1)!(1+n)n!
<=> 1+nn qui est vrai pour tout entier n.
Pour l'autre intégalité :
(n+1)(n!+(n+1)!)(n+2)!
<=> (n+1)(n!)(1+(n+1))(n+2)(n+1)n!
<=> (n+1)(n+2)(n+2)(n+1) qui est vrai, c'est même une égalité.
Je ne comprend juste pas comment on passe de la 1ère à la 2ème ligne dans la deuxième inégalité et pourquoi multiplie t-on par (n+1)n! ?
Ah oui je viens de tout comprendre notamment les factorielles que je n'ai vu que rapidement en cours..
Du coup pour la limite de la suite Un je me sers de l'encadrement donné et je cherche les limites de (n-1)! et de n! ?