Bonjour,
J'ai un dm de maths à rendre et je suis bloquée sur quelques questions.
Voici le sujet :
On considère la suite (Un) définir, pour tout entier naturel n non nul, par Un = 1+1/2+1/3+...+1/n
1. Montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, ln(1+x)x
2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n+1)-ln(n)1/n
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, Unln(n+1)
4. La suite (Un) est-elle convergente ? Justifier.
J'ai fait la question 1 mais je ne suis pas du tout sûre de ma démarche :
ln(1+x)x <=> (1+x)ex <=> xex+1 <=> 0(ex+1)/x
Or x>0, donc (ex+1)/x>0 pour tout x de R. Donc ln(1+x)x.
Pour le reste je suis totalement bloquée. J'ai fait tout ce que je pouvais, j'ai fait des recherches sur internet etc. et je n'ai rien trouvé. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance !
Bonjour,
Il y a une une faute de signe après le deuxième symbole d'équivalence.
Tu pourrais par exemple étudier les variations de la fonction qui à x associe ln(1+x)-x.
littleguy En effet c'est xex-1 je viens de m'en apercevoir.
Je comptais étudier cette fonction mais je n'étais pas sûre de moi...
Merci !
Est-ce que cette étude de fonction m'aidera pour la suite ? Parce-que je bloque complètement...
littleguy
J'ai trouvé sa dérivée : f'(x)=(1/(1+x))-1
f'(x)=0 quand x=0, positive quand x inférieur à 0 et négative quand x positif.
Donc f(x) croissante jusqu'à 0 où elle s'annule puis décroissante.
Et ensuite ?
littleguy
Au temps pour moi, je viens de capter : on a, quand x positif, ln(1+x)-x0 <=> ln(1+x)x
Merci !
littleguy
Merci beaucoup !! Je viens de trouver :
On pose X=1/n. On a donc :
ln(1/X+1)-ln(1/X)X <=> ln((1/X+1)/(1/X)) <=> ln(1+X)X
Il ne me reste plus qu'à conclure.
Pour la 3, je fais une récurrence ?
Pour la 2) je n'ai pas trouvé ton approche très orthodoxe (tu poses n = 1/x mais n est censé être un entier, et ce n'est pas garanti. Il faudrait finasser dans la rédaction)
En revanche en posant x = 1/n (ce qui est toujours possible) l'inégalité du 1 donne ln(1+1/n)1/n, etc.
littleguy
J'ai fait comme ça car je n'y voyait pas d'inconvénient : certes X est un réel, mais 1/X est un entier, donc ça revient au même, non ?
Je trouvais ça plus simple et cela me permet de faire le lien avec la question 1 quand même. Par contre pour la question 3 je ne vois pas du tout comment m'y prendre...
carpediem
Je ne vois pas en quoi ça m'est utile. En posant x=1/n j'ai ça :
ln(1+1/n)1/n. Et ensuite ? Je ne peux rien faire de plus..
carpediem
Ce que je veux dire, c'est qu'en partant de ln(1+x)-ln(x) je pars quand même du résultat...
> borntobewell
Je ne suis pas d'accord. Quand tu commences par écrire "quel que soit x réel non nul", tu ne peux pas certifier que 1/x est un entier.
En revanche, quel que soit n entier non nul, 1/n est un réel.
Et c'est tellement rapide d'écrire : pour tout x réel ln(1+x) x,
donc quel que soit n entier naturel ln(1+1/n) 1/n,
autrement dit ln((1+n)/n) 1/n, etc.
Pour l'histoire de la logique, on peut partir du résultat attendu si on procède par équivalences mais il faut être très rigoureux et explicite dans la rédaction et pour l'instant je te le déconseille...
littleguy
Je n'ai pas dit ça ! Et je parle de X, pas de x. Je pose X=1/n, donc X est un réel. Ainsi, 1/X=1/(1/n)=n donc 1/X est un entier.
Mais merci, je comprends mieux cette histoire de x=1/n, j'avais posé X=1/n...
carpediem
Je viens de comprendre !!!! Je ne voyais pas du tout les choses comme ça !
J'ai donc ln(n+1)-ln(n)=ln((n+1)/n)=ln(1+1/n)
Et comme ln(1+1/n)1/n, on a bien ln(n+1)-ln(n)1/n
Pour la 3) :
D'après 2) on a en particulier :
ln(2)-ln(1) ln(1/1)
ln(3)-ln(2) ln(1/2)
ln(4)-ln(3) ln(1/3)
..................
...................
ha voila qui est beaucoup mieux !!
très bien
éviter les "comme" et utiliser plutôt les conjonctions de coordination
or d'après la question 2/ ... donc ...
être bref et concis pour un maximum de clarté ...
n(2)-ln(1) 1/1
ln(3)-ln(2) 1/2
ln(4)-ln(3) 1/3
........................
..........................
ln(n)-ln(n-1) 1/(n-1)
ln(n+1)-ln(n) 1/n
Pourquoi passer par ln(n-1) ? Je ne remarque rien de spécial à part une application au détail de la formule...
On ajoute membre à membre.
Au tout début j'avais écrit : "Et j'observerais..."
Tu n'observes rien en ajoutant tous les membres de gauche ?
littleguy
Effectivement ! Ca s'annule ! Il reste donc -ln(1) et ln(n+1). Or -ln(1)=0 donc il ne reste plus que ln(n+1).
Merci beaucoup j'ai tout compris !!
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