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Suite et fonction logarithme néperien

Posté par
borntobewell
03-03-18 à 15:02

Bonjour,
J'ai un dm de maths à rendre et je suis bloquée sur quelques questions.
Voici le sujet :

On considère la suite (Un) définir, pour tout entier naturel n non nul, par Un = 1+1/2+1/3+...+1/n

1. Montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, ln(1+x)\leqx
2. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(n+1)-ln(n)\leq1/n
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, Un\geqln(n+1)
4. La suite (Un) est-elle convergente ? Justifier.

J'ai fait la question 1 mais je ne suis pas du tout sûre de ma démarche :
ln(1+x)\leqx <=> (1+x)\leqex <=> x\leqex+1 <=> 0\leq(ex+1)/x
Or x>0, donc (ex+1)/x>0 pour tout x de R. Donc ln(1+x)\leqx.

Pour le reste je suis totalement bloquée. J'ai fait tout ce que je pouvais, j'ai fait des recherches sur internet etc. et je n'ai rien trouvé. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance !

Posté par
PLSVU
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:28

Bonjour,
erreur pour la 1)
x\leqex+1 <=> 0\leq(ex+1)/x
si x>0 alors  x/x=1  ≠0

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:28

Bonjour,

Il y a une une faute de signe après le deuxième symbole d'équivalence.

Tu pourrais par exemple étudier les variations de la fonction qui à x associe ln(1+x)-x.

Posté par
carpediem
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:29

salut

2/ ln a - ln b = ... ?

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:34

littleguy En effet c'est x\leqex-1 je viens de m'en apercevoir.
Je comptais étudier cette fonction mais je n'étais pas sûre de moi...
Merci !
Est-ce que cette étude de fonction m'aidera pour la suite ? Parce-que je bloque complètement...

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:37

> borntobewell

Son étude est très rapide et permet de conclure.

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:37

carpediem @ 03-03-2018 à 15:29

salut

2/ ln a - ln b = ... ?


ln(a/b). J'ai le droit de commencer ma question de cette façon ? J'ai essayé en reprenant la question 1 mais c'est impossible...

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:47

littleguy
J'ai trouvé sa dérivée : f'(x)=(1/(1+x))-1
f'(x)=0 quand x=0, positive quand x inférieur à 0 et négative quand x positif.
Donc f(x) croissante jusqu'à 0 où elle s'annule puis décroissante.
Et ensuite ?

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:49

> borntobewell

Si son maximum est 0, que peux-tu en déduire sur son signe ?

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:53

littleguy
Au temps pour moi, je viens de capter : on a, quand x positif, ln(1+x)-x\leq0 <=> ln(1+x)\leqx
Merci !

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 15:55

Pour la 2) tu peux poser x=1/n et utiliser le 1) et le rappel de carpediem.

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:03

littleguy
Merci beaucoup !! Je viens de trouver :
On pose X=1/n. On a donc :
ln(1/X+1)-ln(1/X)\leqX <=> ln((1/X+1)/(1/X))\leq <=> ln(1+X)\leqX
Il ne me reste plus qu'à conclure.
Pour la 3, je fais une récurrence ?

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:06

Moi j'écrirais l'inégalité démontrée juste avant pour n=1, puis pour n=2, etc.
Et j'observerais...

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:15

Pour la 2) je n'ai pas trouvé ton approche très orthodoxe (tu poses n = 1/x mais n est censé être un entier, et ce n'est pas garanti. Il faudrait finasser dans la rédaction)

En revanche en posant x = 1/n (ce qui est toujours possible) l'inégalité du 1 donne ln(1+1/n)1/n, etc.

Posté par
carpediem
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:23

borntobewell @ 03-03-2018 à 16:03

littleguy
Merci beaucoup !! Je viens de trouver :
On pose X=1/n. On a donc :
ln(1/X+1)-ln(1/X)\leqX <=> ln((1/X+1)/(1/X))\leq <=> ln(1+X)\leqX
Il ne me reste plus qu'à conclure.
Pour la 3, je fais une récurrence ?
c'est une démonstration qui ne va pas ... puisque tu pars du résultat (comme pour la question 1/ d'ailleurs)

ln a - ln b = ... ?

ln (x + 1 ) - ln x = ... ?

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:25

littleguy
J'ai fait comme ça car je n'y voyait pas d'inconvénient : certes X est un réel, mais 1/X est un entier, donc ça revient au même, non ?
Je trouvais ça plus simple et cela me permet de faire le lien avec la question 1 quand même. Par contre pour la question 3 je ne vois pas du tout comment m'y prendre...

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:32

carpediem
Je ne vois pas en quoi ça m'est utile. En posant x=1/n j'ai ça :
ln(1+1/n)\leq1/n. Et ensuite ? Je ne peux rien faire de plus..

Posté par
carpediem
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:33

bon ben j'abandonne ...

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:36

carpediem
Ce que je veux dire, c'est qu'en partant de ln(1+x)-ln(x) je pars quand même du résultat...

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:37

>  borntobewell

Je ne suis pas d'accord. Quand tu commences par écrire "quel que soit x réel non nul", tu ne peux pas certifier que 1/x est un entier.

En revanche, quel que soit n entier non nul, 1/n est un réel.

Et c'est tellement rapide d'écrire : pour tout x réel ln(1+x) x,
donc quel que soit n entier naturel ln(1+1/n) 1/n,

autrement dit ln((1+n)/n) 1/n, etc.

Posté par
carpediem
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:39

borntobewell @ 03-03-2018 à 16:36

carpediem
Ce que je veux dire, c'est qu'en partant de ln(1+x)-ln(x) je pars quand même du résultat...


ben non !!!

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:42

Pour l'histoire de la logique, on peut partir du résultat attendu si on procède par équivalences mais il faut être très rigoureux et explicite dans la rédaction et pour l'instant je te le déconseille...

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:43

Bonjour carpediem

Sur ce point nous sommes d'acoord.

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:44

littleguy
Je n'ai pas dit ça ! Et je parle de X, pas de x. Je pose X=1/n, donc X est un réel. Ainsi, 1/X=1/(1/n)=n donc 1/X est un entier.
Mais merci, je comprends mieux cette histoire de x=1/n, j'avais posé X=1/n...

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:49

carpediem
Je viens de comprendre !!!! Je ne voyais pas du tout les choses comme ça !
J'ai donc ln(n+1)-ln(n)=ln((n+1)/n)=ln(1+1/n)
Et comme ln(1+1/n)\leq1/n, on a bien ln(n+1)-ln(n)\leq1/n

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:52

Pour la 3) :

D'après 2) on a en particulier :

ln(2)-ln(1) ln(1/1)
ln(3)-ln(2) ln(1/2)
ln(4)-ln(3) ln(1/3)
..................
...................

Posté par
carpediem
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:54

ha voila qui est beaucoup mieux !!

très bien


éviter les "comme" et utiliser plutôt les conjonctions de coordination

or d'après la question 2/ ... donc ...


être bref et concis pour un maximum de clarté ...

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 16:54

Rectif

ln(2)-ln(1) 1/1
ln(3)-ln(2) 1/2
ln(4)-ln(3) 1/3

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:03

littleguy
Donc \sum_{ln(n+1)-ln(n)}^{1}{n}\leq\sum_{1/n}^{1}{n} ?

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:06

Je me suis embrouillée en écrivant ma somme :
\sum_{1}^{n}{ln(n+1)-ln(n)}\leq\sum_{1}^{n}{1/n}

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:06



Tu ne remarques rien en ajoutant  toutes ces inégalités membre à membre (regarde bien à gauche) ?

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:11

n(2)-ln(1) 1/1
ln(3)-ln(2) 1/2
ln(4)-ln(3) 1/3
........................
..........................
ln(n)-ln(n-1) 1/(n-1)
ln(n+1)-ln(n) 1/n

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:15

Pourquoi passer par ln(n-1) ? Je ne remarque rien de spécial à part une application au détail de la formule...

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:28

On ajoute membre à membre.

Au tout début j'avais écrit : "Et j'observerais..."
Tu n'observes rien en ajoutant tous les membres de gauche ?

Posté par
borntobewell
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:36

littleguy
Effectivement ! Ca s'annule ! Il reste donc -ln(1) et ln(n+1). Or -ln(1)=0 donc il ne reste plus que ln(n+1).
Merci beaucoup j'ai tout compris !!

Posté par
littleguy
re : Suite et fonction logarithme néperien 03-03-18 à 17:36



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