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Suite et fonctions.

Posté par
matheux14
07-05-21 à 17:54

Bonjour ,

Merci d'avance.

Partie A

Soit f la fonction dérivable sur ]-1 ;+\infty[  et définie par : f(x)=\dfrac{e^{x}}{(x+1)²}.

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I ; J).

1) Calculer limite de f en -1.

2) Calculer les limites de f et de \dfrac{f(x)}{x} en +∞.

Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

4) Tracer (C).

Partie B

1) Démontrer que l'équation x \in [0,5 ~;~1] , f(x)=x admet une unique solution \alpha.

2) Démontrer que f([0,5 ~;~1]) \subset [0,5 ~;~1].

3-a) Étudier le sens de variation de la fonction dérivée f' sur [0,5 ; 1].

b) En déduire que : \forall x \in [ 0,5 ~;~1] , |f'(x)| \le \dfrac{1}{4}

4) Soit (un) la suite définie par : u0=1 et \forall n \in \N , un+1=f(un).

a) Démontrer que \forall n \in \N , u_{n} \in [0,5 ~;~1].

b) Démontrer que : \forall n \in \N , |u_{n}-\alpha| \le \dfrac{1}{4}|u_n-\alpha|

c) Démontrer que : \forall n \in \N , |u_n-\alpha| \le \dfrac{1}{4^{n}}.

d) En déduire que la suite (un) converge vers \alpha.

e) Donner une valeur approchée de \alpha à 10-3 près.

Réponses

Partie A

1) \lim_{x\to-1}f(x)=+\infty

2) \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty

Une branche parabolique de direction (OJ) pour (C).

3) \forall x\in ]-1 ~;~+\infty[ , f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)}{(x+1)^{3}}

f est strictement décroissante sur ]-1 ; 1[ et strictement croissante sur ]1 ; +∞[.

Partie B

1) [0,5~;~1] \subset ]-1~;~1[.

f continue et strictement décroissante sur ]-1 ; 1[

==> f strictement décroissante sur [0,5 ; 1]

==> f(x)=x admet une unique solution \alpha pour tout x\in [0,5~;~1]

2) f([0,5 ~;~1])=[0,7 ~;~0,73]

==> f([0,5 ~;~1]) \subset [0,5 ~;~1].

3-a) \forall x\in [0,5 ~;~1] , [~;~f''(x)=\dfrac{e^{x}(x²+3)}{(x+3)^{4}}

f' strictement croissante sur [0,5 ; 1]

b) f(0,5)= -0,24 et f(1)=0.

On en déduit que \forall x \in [0,5~;~1] , |f'(x)|\le \dfrac{1}{4}

4-a) Pn : << 0,5 ≤ un ≤ 1 >> \forall n \in \N

* 0,5 ≤ u0=1 ≤ 1 ; P0 vraie.

* Soit k\in \Z , supposons Pk vraie et montrons que Pk+1 vraie.

Pk vraie ==> 0,5 ≤ uk ≤ 1

f strictement monotone (décroissante) sur [0,5 ; 1] et f([0 ,5 ; 1]) \subset [0,5 ; 1]

==> 0,5 ≤ f(uk) ≤ 1

==> 0,5 ≤ uk+1 ≤ 1

Pk vraie ==> Pk+1 vraie.

Conclusion : Pn vraie pour tout n de IN.

b) Je bloque.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:03

Bonjour,
Pour B)1), il faut considérer la fonction g définie par g(x) = f(x) - x.

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:05

Je ne comprends pas pourquoi.

Ce que j'ai n'est pas juste ?

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:08

Ca dépend de ce que te dit ton TVI dans ton cours.
C'est juste mais peut-être insuffisant.

La partie A 2), il faut expliquer d'où ça sort quand même.

Pour la récurrence, si tu initialises au rang n, et montre l'implication, tu montres donc que c'est vrai A PARTIR DE CE RANG. Tu n'as pas montré que c'était vrai avant.

Mais l'énoncé est erroné pour là où tu bloques, non ??

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:12

Pour B)2), f([0,5 ; 1]) n'est pas égal à [0,7 ; 0,73] mais à [f(1) ; f(0,5)]
Il faudrait écrire f(0,5) 0,7 ; donc f(0,5) 0,5.
f(1) 0,73 ; donc f(1) 1.
Mais d'où viennent ces 0,7 et 0,73 ? Pour moi, f(1) = e/4 0,68

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:15

B)1) est faux et incomplet.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:19

Tu as fait comme si on devait résoudre f(x) = 0.
Mais il s'agit de f(x) = x.

Par ailleurs tu te contentes de dire que la fonction est décroissante et continue.
Ça ne suffit jamais pour démontrer l'existence de solution dans un intervalle [a;b].
Il faut regarder les images de a et b par la fonction.
Et je répète que pour l'équation f(x) = x, il faut s'intéresser à une autre fonction :
g définie par g(x) = f(x) -x.

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:30

Pour f(1) j'ai arrondi..

B -1) J'étudie  g(x)=f(x)-x sur [0,5 ; 1] ?

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:33

Je montre que g est strictement monotone sur [0,5 ; 1] et que g(0,5) × g(1) < 0.

Donc g(x)=0 admet une solution unique dans [0,5 ; 1]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:33

Oui.

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 07-05-21 à 18:40

Ok ,

C'est compris pourquoi B-2).

Le reste ça va ?

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 08:32

Bonjour

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 13:56

Pardon j'ai dit des bêtises l'autre fois.

Pour ta récurrence, défini k sur N pas sur Z. C'est inutile et insensé (u-1 n'existe pas, et même si c'était le cas, ça ne montrerait pas que ta propriété est vraie dans Z).

La partie A 3) je trouve e^x(x²-2x+3)/(x+1)⁴, sauf erreur.

Pour là où tu bloques : soit X=$\lvert u_{n} - \alpha$\rvert$, alors X est positif et d'après l'énoncé il devrait vérifier X\leq 1/4X \Rightarrow X - 1/4X \leq 0 \Rightarrow 3/4X\leq 0 \Rightarrow X\leq 0. Donc X est nul. Ce qui n'est évidemment pas vraie pour tout n (voir peut-être jamais vraie).

Le bon énoncé doit plutôt être :
|u_{n+1} - \alpha| \leq 1/4|u_{n} - \alpha|
On t'a fait majoré la valeur aboslue de la dérivée avant par ce même 1/4... Tu n'as pas un théorème qui dit quelque chose à ce sujet...?

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 14:08

Oups :

Citation :
La partie B 3)a) je trouve e^x(x²-2x+3)/(x+1)⁴, sauf erreur. et non la A

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 14:13

Citation :
La partie A 3) je trouve e^x(x²-2x+3)/(x+1)⁴, sauf erreur.


Non , revoir tes calculs !

 \forall x\in [0,5 ~;~1] , [~;~f''(x)=\dfrac{e^{x}(x²+3)}{(x+3)^{4}}

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 14:14

Posté par
malou Webmaster
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 14:20

Bonjour
je ne fais que passer
attention ton dénominateur de f''(x) est (x+1)^4 et non (x+3)^4
et le numérateur est bien ce que dit NoPseudoDispo soit (x²-2x+3)e^x

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 14:48

Ah désolé j'avais pris x+3 au lieu de x+1 au dénominateur.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 14:50

c'est l'impression que j'ai eue....
allez, bonne suite d'exo

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 16:58

Citation :
Le bon énoncé doit plutôt être :
|u_{n+1} - \alpha| \leq 1/4|u_{n} - \alpha|
On t'a fait majoré la valeur aboslue de la dérivée avant par ce même 1/4... Tu n'as pas un théorème qui dit quelque chose à ce sujet...?


Je ne vois pas vraiment..

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 17:09

Inégalité des accroissements finis

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 17:15

Oui , je vois.

4-c) Je fais comment ?

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 17:22

une récurrence

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 21:04

J'ai souci au niveau de l'hérédité..

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 08-05-21 à 21:30

Qu'est ce que tu as fait ? Je ne sais pas ce qui te coince.
Tu as "vu", sans encore le prouver, que la proriété du c) est vérifiée grâce à celle du b) ? Il te faudra donc utiliser le résultat du b) pour montrer c).

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 09-05-21 à 09:10

4-c) Soit Pn : <<|un-α| ≤ 1/4ⁿ >> \forall n \in \N

*|u0-α|=|1-α| ≤ 1/4ⁿ car α \in [0,5 ; 1] ; P0 vraie.

* Soit k \in \N , supposons Pk vraie , c'est à dire |uk-α| ≤ 1/4k et démontrons que Pk+1 vraie , c'est-à-dire |uk+1-α| ≤ 1/4k+1.

Au bon début de l'hérédité

Posté par
malou Webmaster
re : Suite et fonctions. 09-05-21 à 09:45

Bonjour à tous les deux
une démonstration avec des points de suspension est une récurrence cachée, certes, mais personnellement quand une récurrence est aussi évidente que celle-ci, ce genre d'écriture est autorisée
Remarque :|u_0-\alpha|\le 1 car \alpha \in \dots
|u_1-\alpha|\le \dfrac 1 4 |u_0-\alpha|\le \dfrac 1 4

on peut le présenter sous forme de "tour" d'inégalités

|u_1-\alpha|\le \dfrac 1 4

|u_2-\alpha|\le \dfrac 1 4 |u_1-\alpha|

|u_3-\alpha|\le \dfrac 1 4 |u_2-\alpha|

........


|u_n-\alpha|\le \dfrac 1 4 |u_{n-1}-\alpha|

on multiplie tout membre à membre (ce ne sont que des valeurs positives) après avoir simplifié !

|u_n-\alpha|\le \left(\dfrac 1 4 \right)^n

cela peut s'écrire tout aussi bien en ligne.

|u_n-\alpha|\le \dfrac 1 4 |u_{n-1}-\alpha|\le  \left(\dfrac 1 4\right)^2 |u_{n-1}-\alpha|\le \dots \le \left(\dfrac 1 4 \right)^n

Posté par
matheux14
re : Suite et fonctions. 09-05-21 à 10:07



Merci

Posté par
NoPseudoDispo
re : Suite et fonctions. 09-05-21 à 13:47

Oui voilà, je te rédige l'hérédité :

Soit k dans N tel que (hypothèse de récurrence) : |u_{k}-\alpha|\leq \frac{1}{4^k}.

Alors, 1/4|u_{k}-\alpha|\leq \frac{1}{4^{k+1}} (jai multiplié par 1/4)

Or, |u_{k+1}-\alpha|\leq \frac{1}{4}|u_{k}-\alpha| (cas particulier de l'inégalité montré au b), pour n=k)

Finalement, par transitivité de la relation \leq, |u_{k+1}-\alpha|\leq \frac{1}{4^{k+1}}

(Transitivité : Pour tout réels a,b,c, (a<b et b<c) => a<c)



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