Bonjour ,
Merci d'avance.
Partie A
Soit f la fonction dérivable sur et définie par : .
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I ; J).
1) Calculer limite de f en -1.
2) Calculer les limites de f et de en +∞.
Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
4) Tracer (C).
Partie B
1) Démontrer que l'équation , admet une unique solution .
2) Démontrer que .
3-a) Étudier le sens de variation de la fonction dérivée f' sur [0,5 ; 1].
b) En déduire que : ,
4) Soit (un) la suite définie par : u0=1 et , un+1=f(un).
a) Démontrer que , .
b) Démontrer que : ,
c) Démontrer que : , .
d) En déduire que la suite (un) converge vers .
e) Donner une valeur approchée de à 10-3 près.
Réponses
Partie A
1)
2) et
Une branche parabolique de direction (OJ) pour (C).
3) ,
f est strictement décroissante sur ]-1 ; 1[ et strictement croissante sur ]1 ; +∞[.
Partie B
1) .
f continue et strictement décroissante sur ]-1 ; 1[
==> f strictement décroissante sur [0,5 ; 1]
==> f(x)=x admet une unique solution pour tout
2)
==> .
3-a)
f' strictement croissante sur [0,5 ; 1]
b) f(0,5)= -0,24 et f(1)=0.
On en déduit que ,
4-a) Pn : << 0,5 ≤ un ≤ 1 >>
* 0,5 ≤ u0=1 ≤ 1 ; P0 vraie.
* Soit , supposons Pk vraie et montrons que Pk+1 vraie.
Pk vraie ==> 0,5 ≤ uk ≤ 1
f strictement monotone (décroissante) sur [0,5 ; 1] et f([0 ,5 ; 1]) [0,5 ; 1]
==> 0,5 ≤ f(uk) ≤ 1
==> 0,5 ≤ uk+1 ≤ 1
Pk vraie ==> Pk+1 vraie.
Conclusion : Pn vraie pour tout n de IN.
b) Je bloque.
Ca dépend de ce que te dit ton TVI dans ton cours.
C'est juste mais peut-être insuffisant.
La partie A 2), il faut expliquer d'où ça sort quand même.
Pour la récurrence, si tu initialises au rang n, et montre l'implication, tu montres donc que c'est vrai A PARTIR DE CE RANG. Tu n'as pas montré que c'était vrai avant.
Mais l'énoncé est erroné pour là où tu bloques, non ??
Pour B)2), f([0,5 ; 1]) n'est pas égal à [0,7 ; 0,73] mais à [f(1) ; f(0,5)]
Il faudrait écrire f(0,5) 0,7 ; donc f(0,5) 0,5.
f(1) 0,73 ; donc f(1) 1.
Mais d'où viennent ces 0,7 et 0,73 ? Pour moi, f(1) = e/4 0,68
Tu as fait comme si on devait résoudre f(x) = 0.
Mais il s'agit de f(x) = x.
Par ailleurs tu te contentes de dire que la fonction est décroissante et continue.
Ça ne suffit jamais pour démontrer l'existence de solution dans un intervalle [a;b].
Il faut regarder les images de a et b par la fonction.
Et je répète que pour l'équation f(x) = x, il faut s'intéresser à une autre fonction :
g définie par g(x) = f(x) -x.
Je montre que g est strictement monotone sur [0,5 ; 1] et que g(0,5) × g(1) < 0.
Donc g(x)=0 admet une solution unique dans [0,5 ; 1]
Pardon j'ai dit des bêtises l'autre fois.
Pour ta récurrence, défini k sur N pas sur Z. C'est inutile et insensé (u-1 n'existe pas, et même si c'était le cas, ça ne montrerait pas que ta propriété est vraie dans Z).
La partie A 3) je trouve e^x(x²-2x+3)/(x+1)⁴, sauf erreur.
Pour là où tu bloques : soit , alors X est positif et d'après l'énoncé il devrait vérifier . Donc X est nul. Ce qui n'est évidemment pas vraie pour tout n (voir peut-être jamais vraie).
Le bon énoncé doit plutôt être :
On t'a fait majoré la valeur aboslue de la dérivée avant par ce même 1/4... Tu n'as pas un théorème qui dit quelque chose à ce sujet...?
Bonjour
je ne fais que passer
attention ton dénominateur de f''(x) est (x+1)^4 et non (x+3)^4
et le numérateur est bien ce que dit NoPseudoDispo soit (x²-2x+3)e^x
Qu'est ce que tu as fait ? Je ne sais pas ce qui te coince.
Tu as "vu", sans encore le prouver, que la proriété du c) est vérifiée grâce à celle du b) ? Il te faudra donc utiliser le résultat du b) pour montrer c).
4-c) Soit Pn : <<|un-α| ≤ 1/4ⁿ >>
*|u0-α|=|1-α| ≤ 1/4ⁿ car α [0,5 ; 1] ; P0 vraie.
* Soit k , supposons Pk vraie , c'est à dire |uk-α| ≤ 1/4k et démontrons que Pk+1 vraie , c'est-à-dire |uk+1-α| ≤ 1/4k+1.
Au bon début de l'hérédité
Bonjour à tous les deux
une démonstration avec des points de suspension est une récurrence cachée, certes, mais personnellement quand une récurrence est aussi évidente que celle-ci, ce genre d'écriture est autorisée
Remarque : car
on peut le présenter sous forme de "tour" d'inégalités
........
on multiplie tout membre à membre (ce ne sont que des valeurs positives) après avoir simplifié !
cela peut s'écrire tout aussi bien en ligne.
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