Pour calculer a^4-^b^4=(a-b)^4
Donc pour développer (i+1)^4-i^4 je pense que tu dois faire (i+1-i)^4

Je ne peux pas laisser passer une erreur pareille...

a^4-b^4 n'est surtout pas égal à (a-b)^4.
Pour développer (i+1)^4, on multiplie (i+1)²*(i+1)²
(i²+2i+1)(i²+2i+1)=i^4+4i^3+6i²+4i+1
Si on enlève i^4, on obtient :

(i+1)^4-i^4=4i^3+6i²+4i+1

@+

je me suis mal exprimé
on veut calculer Zn=1^3+2^3+...+n^3
on a l'égalité (i+1)^4=i^4=4i^3+6i²+4i+1
Si j'écris les n égalités pour i variant de 1 à n j'obtient:


....                                   [A]                          
       [B]
(n+1)^4-1^4=4(1^3+2^3+...+n^3) + 6(1²+2²+...+n²)+4(1+2+...+n)+(1+1+...+1)
.....     [C]      ...       [n]

(n+1)^4-1^4=4A+6B+4C+n

4A=[(n+1)^4-1^4]-[6B+4C+n]    
c la que jem'embrouille car ne connais pas a^4-b^4

or je connais B=n(n+1)(2n+1)/6  
..                    C= n(n+1)/2

je crois que que je dois trouver Zn= (1/4)n²(n+1)² mais je n'en
suis pas sur !!

merci HELP !!

les [A] [B] [C] [n] sont mal sorti, ils sont audessus desparenthèses
après le =
voila

Bonjour,
Ce que tu cherches, c'est A et tu sais que :
4A=[(n+1)^4-1^4]-[6B+4C+n]

6B=n(n+1)(2n+1)
4C=2n(n+1)
et enfin il faut factoriser (n+1)^4-1 (et non pas le développer)
(n+1)^4-1=((n+1)²+1)((n+1)²-1)=((n+1)²+1)n(n+2)

On peut donc factoriser n :
4A=n[((n+1)²+1)(n+2)-(n+1)[2n+1+2]-1]
4A=n(n+1)[(n+1)(n+2)+1-2n-3]=n(n+1)[n²+n]=n²(n+1)²

D'où le résultat.
J'ai effectué très rapidement les calculs des deux dernières lignes, essaye
de les refaire et n'hésite pas à poser des questions si nécessaires.

@+


or je connais B=n(n+1)(2n+1)/6
.. C= n(n+1)/2

Si cela t'intéresse:
Autre méthode pour montrer que:
1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)²

Méthode par récurrence.

Supposons que l'expression  1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)²  soit vraie
pour une certaine valeur k de n, on a alors:

1³+2³+3³+...+k³ = (1+2+3+...+k)²  

1³+2³+3³+...+k³ + (k+1)³ = (1+2+3+...+k)² + (k+1)³  (1)

1 + 2 + ... + k = k.(k+1)/2    (car somme de k nombres en progression
arith. de raison 1 et de premier terme = 1)
(1 + 2 + ... + k)² = k².(k+1)²/4

(1 + 2 + ... + (k+1))² = (k+1)².(k+2)²/4

(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = [(k+1)².(k+2)²/4]-[k².(k+1)²/4]
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = [(k+1)².(k²+4k+4)-k²(k²+2k+1)]/4
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = [(k+1)².(4k+4)]/4
(1 + 2 + ... + (k+1))² - (1 + 2 + ... + k)² = (k+1)³    (2)

(1) et (2) ->
1³+2³+3³+...+k³ + (k+1)³ = (1 + 2 + ... + (k+1))²
qui est l'expression 1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² dans laquelle
n = k+1.
---
Donc si l'expression  1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie
pour une certaine valeur k de n, elle est encore vraie pour n = k+1.

Cette expression est vraie pour n = 0 (car 0³ = 0²)

Comme  1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie pour n = 0, elle est
vraie pour n = 1
Comme  1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie pour n = 1, elle est
vraie pour n = 2
Comme  1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est vraie pour n = 2, elle est
vraie pour n = 3
Et ainsi de proche en proche,  1³+2³+3³+...+n³ = (1+2+3+...+n)² est
vraie pour tout n de N
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Sauf distraction.