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Suite et majorant
Bonjour!
J'ai un devoir maison porté sur les suites et les factorielles.
Dans l'exercice 1, on a démontré k! 
2k-1.
Et dans l'exercice suivant on a la suite (un) définie par :
un = 
1 / k!
( Avec pour la somme : k=0 )
J'ai répondu aux 2 premières questions : calcul de premiers termes et démontrer que la suite est strictement croissante.
Je suis cependant "bloquée" pour deux questions reliées qui me permettront d'en déduire que la suite est majorée par 3.
Je dois démontrer que :
un 
1 + 1 / 2 k-1
( Avec pour la somme : k=1 )
Et : 1 + 1 / 2 k-1 = 2 [ 1-( 1/2 )n ]
Et à partir de ces résultats en déduire que la suite est majorée par 3.
Pouvez-vous me donner une piste ? Svp
Merci d'avance!
alors tu as démontré que k!>=2^(k-1)
1/(k!)<=1/2^(k-1) comme f(x)=1/x est décroissante
k=1 1/1!<=1/2^0
k=2 1/2!<=1/2^1
...
k=n 1/n!<=1/2^(n-1)
On ajoute tous les termes
1/1!+1/2!+...+1/n!<=1+1/2+...+1/2^(n-1)
d'où Un<=1+la somme avec k=1
la somme (je ne l'écris pas) est suivante:
1/2+1/2^2+1/2^3... Si on ajoute encore 1 ça devient:
1+1/2+1/2^2+1/2^3...
C'est la somme d'une suite géometrique de raison 1/2 et de pr terme 1
S=(1-1/2^n)/(1-1/2)=(1-1/2^n)/(1/2)
d'où S=2(1-1/2^n)
Merci beaucoup.
Avant d'avoir vu ta réponse j'ai réussi à résoudre l'exercice et j'ai fait la même chose que toi si j'ai bien tout compris !
Je te remercie en tout cas.
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