Bonjour , j'ai réalisé cette exercice mais j'ai un doute sur les question 2.d , 2.e et 2.f
Est ce possible de m'aider ?

Voici l'énoncé

Chaque semaine, un agriculteur propose un panier de produits frais contenant une bouteille de jus de fruits consignée. Une étude statistique révèle que :

• à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille consignée la semaine suivante est 0,9 ;

• si le client a rapporté la bouteille une semaine, alors il la ramène la semaine suivante avec une probabilité égale à 0,95;

• si le client n'a pas rapporté la bouteille une semaine, il ramène la bouteille la semaine suivante avec une probabilité égale à 0,2.

On choisit au hasard un client de cet agriculteur.

Pour tout entier n≥1, on note R, l'événement « le client rapporte la bouteille de la n-ième semaine ».

1. a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré.

b. Montrer que P(R2) = 0,875. Interpréter.

2. Pour tout entier n ≥1, on note P, la probabilité que le client rapporte la bouteille la n-ième semaine. Ainsi,
on a Pn = P (R,).

a. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.

b. Justifier que, pour tout entier n≥1 :
Pn+1 = 0,75p, + 0,2
Quelle est la nature de la suite (Pn) n=1 ?

c. Déterminer une suite constante, notée a, vérifiant la même relation de récurrence que (Pn).

d. Déterminer la nature de la suite (,) définie, pour tout entier n ≥1, par un = Pn - a. Justifier.

e. Exprimer, pour tout entier n ≥ 1, u, en fonction de n. En déduire que Pn = 0,1× 0,751-1 + 0,8.

f. Quelle est la limite de la suite (Pn) ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Du livre Belin math complémentaire exercice 39pages 187