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Niveau terminale
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Suite et raisonnement par récurrence

Posté par
Mandale
09-09-22 à 22:16

Bonjour,

Je suis actuellement en terminale spé maths. J'ai un exercice à résoudre que je n'arrive malheureusement pas à faire. J'ai l'impression qu'il faut utiliser le raisonnement par récurrence mais je n'en suis pas certain.

Soit (u_{n}) la suite définie par : u_{0} = 3, u_{1} = 7 et \forall {n} \in \mathbb{N}, u_{n}+2 = 2u_{n+1} + 15u_{n}.

Montrer que pour tout entier naturel n,  u_{n} = (-3)^{n} + 2 x 5^{n}

J'arrive la partie initialisation sans problème (forcément ce n'est pas compliqué), en revanche je coince sur la partie hérédité.

Merci de m'aider.

Posté par
ty59847
re : Suite et raisonnement par récurrence 09-09-22 à 23:48

Tu parles de raisonnement par récurrence. Ici, je pense que le nom correct est récurrence forte. Si vous avez vu ça en cours, c'est le moment de pratiquer.
Si tu n'as jamais entendu ce mot, c'est que je me trompe dans la dénomination, et ça s'appelle aussi 'Récurrence'. Peu importe.

Montre ce que tu as essayé pour montrer l'hérédité.

Soit n un entier. On suppose que ... .... ... ... ... ...
Et on veut montrer que ... ...
Complète déjà les ... ...  
Et essaie de continuer.

Là où j'ai mis beaucoup de ..., c'est parce qu'il y a beaucoup beaucoup de mots manquants

Posté par
alfpfeu
re : Suite et raisonnement par récurrence 10-09-22 à 08:03

Bonjour,

Ici, il s'agit d'une récurrence double, ou d'ordre 2.
Initialisation: on doit vérifier P_0 et P_1
Hérédité: P_n et P_{n+1} impliquent P_{n+2}

Elle est équivalente à une récurrence simple appliquée à (P_n et  P_{n+1})

L'hérédité d'une récurrence forte est
\usepackage{stmaryrd} \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket P_k impliquent P_{n+1}
La récurrence forte est à utiliser avec précaution, car on peut facilement faire des erreurs et montrer par exemple que tous les crayons de couleur d'une boite de crayons sont tous de la même couleur par exemple.
récurrence

La récurrence forte est équivalente à une récurrence simple appliquée à \usepackage{stmaryrd} \forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket P_k

Heureusement, en pratique, pendant les études elle est rarement utilisée.

Merci



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