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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Suite et Série

Posté par
nirosane
14-03-19 à 16:42

Bonjour, pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait :

1) Étudier la convergence de l'intégrale \int_{1}^{+\propto }{\frac{sinx}{x^{3/2} }dx}.

J'ai répondu à cette question.

2)Montrer que l'intégrale \int_{-\propto}^{+\propto }{\frac{cos (nx)}{(1+x)^{1/2} }dx} c onverge et que la suite In =n\int_{-\propto }^{+\propto }{\frac{cos (nx)}{(1+x)^{1/2} }dx}


Pour cet question j'ai coupé l'intégrale en deux puis j'ai fait une IPP et je me retrouve avec
\int_{0}^{X }{\frac{cos (nx)}{(1+x)^{1/2} }dx} = \frac{sin(nX)}{n(1+X^{2})^{1/2}} +\frac{1}{n}{\int_{0}^{X}{sin(x)\frac{x}{(1+x^{2})^{3/2}}dx}}
J'essaye de majorer le terme de l'intégrale de droite en valeur absolue avec
\frac{x}{(1+x^{2})^{3/2}} et maintenant je bloque pour trouver un équivalent...
Pouvez vous m'aider à partir d'ici s'il vous plait

Posté par
verdurin
re : Suite et Série 14-03-19 à 18:11

Bonsoir,
il y a un problème pour x<-1.
Est tu certain de l'énoncé ?

Posté par
etniopal
re : Suite et Série 14-03-19 à 18:57

Admettons que   ce soit   f_n(x) :=\frac{cos(nx)}{\sqrt{1 + x²}}  (n   *  , x )

Aucune  fn n'est intégrable  : |fn| = + pour tout n .
Mais  si on désigne par Fn la primitive de  fn qui s'annule en 0 alors Fn(x)  a une limite ( dans ) quand  x + .
Cela provient du fait que gn : x   sin(nx)/(1 + x²)3/2   est intégrable  ( càd   |gn|  < + )

Posté par
verdurin
re : Suite et Série 14-03-19 à 20:04

Salut etniopal.
je pencherais plutôt pour
f_n(x) :=\dfrac{\cos(nx)}{\sqrt{|1 + x|}}.
Donc sans convergence absolue.

Mais il faut attendre la réaction de nirosane.

J'en profite pour corriger une faute d'orthographe.
je voulais dire

Citation :
Es tu certain de l'énoncé ?

Posté par
nirosane
re : Suite et Série 04-04-19 à 21:53

Bonjour,

Merci pour vos réponse ( et désolé de mon retard), effectivement verdurin je viens de vérifier et il y avait une erreur je m'en excuse. Il s'agit plutôt de x² et non x sous la racine.

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