Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Suite et série numériques

Posté par
scoatarin 24-07-17 à 09:14

Bonjour,

Merci de m'aider à résoudre l'exercice suivant :

Exercice 2.  On considère la suite Un = ( 1 - \frac{1}{\sqrt n})^n définie pour n * .

1) Soit .  Quelle est la limite de  nUn ?  On pourra exprimer Un en fonction de l'exponentielle et faire un développement limité.

2) La série Un  est-elle convergente ou divergente ?

Posté par
luzakre : Suite et série numériques 24-07-17 à 09:57

Bonjour !
Je veux bien t'aider! Il faudrait donc savoir ce que tu as déjà essayé !

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 10:51

1) Un = e^{ln( 1 - \frac1\sqrt n}).

Quel développement limité conseilles-tu de faire maintenant ?

Posté par
alainpaulre : Suite et série numériques 24-07-17 à 12:08

Bonjour,


Je pense à un changement de variable: m=-\sqrt{n}
nous sommes ramenés à :U_m=((1+\frac{1}{m})^m)^m

Alain

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 12:53

Le DL de ln(1-x) au voisinage de 0, c'est connu, non ?

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 13:20

Au voisinage de 0, le DL de ln(1 + x) est :

ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x3).

donc, au voisinage de 0, le DL de ln(1 - x) est :

ln(1 -x) = -x - \frac{x^2}{2} + o(x3).

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 13:54

Je m'aperçois que la forme exponentielle que vous avez donnée est inexacte. A revoir.

Ensuite, pourquoi ne pas prendre x=\frac{1}{\sqrt{n}} ?

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 15:04

Un = n e^{ln( 1 - \frac1\sqrt n})

On sait que :
ln(1 -x) = -x - \frac{x^2}{2} + o(x^3).

Ensuite, on pose  x = \frac{1}{\sqrt n}

d'où :   ln(1 - \frac1\sqrt n})  =  -\frac1\sqrt n} - \frac{1}{2n}+ o (\frac{1}{\sqrt n})^3

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 15:12

non, Un = e^{n ln( 1 - \frac{1}{\sqrt n})

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 15:17

Non, c'est

  U_n = \large{e^{nln( 1 - \frac{1}\sqrt{ n}})

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 15:18

OK, donc prenez un équivalent de l'exposant et répondez à la 1/.

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 15:52

L'exposant est équivalent à   \large {e^{-n^{1/2}}, or l'exponentielle l'emporte
sur toute puissance, donc pour tout , la limite de nUn est 0.

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 15:58

Ce n'est pas l'exposant qui est équivalent à..., c'est U_n

Effectivement pour tout   \alpha (négatif c'était évident, mais aussi positif) la limite est 0.

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 16:36

2) Comme   pour tout   la limite de la suite Un est 0, on en déduit que  la série Un est convergente pour > 1 et divergente pour < 1.

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 16:48

Non.
La suite  U_n  a pour limite 0, oui (sinon la série serait grossièrement divergente).

Mais \alpha n' apparaît pas dans   U_n.

Par contre on vient de montrer que pour tout \alpha,   n^\alpha U_n tend vers 0.
En particulier pour \alpha>1. D'où selon la règle dite  justement   n^\alpha   (comparaison avec une série de Riemann)...

(cf exo n° 4 d'hier)

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 17:24

Merci larrech pour toutes ces explications.

Bonne soirée à tous.

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 17:32

La conclusion est évidente, mais tu aurais pu la donner, ne serait-ce que pour l'édification des générations futures...

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 19:23

D'où selon la règle dite  justement    n , la série Un est convergente si et seulement si > 1.

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 24-07-17 à 19:53

Eh bien non.
Elle est convergente , un point c'est tout puisque pour n assez grand, son TG est négligeable devant tout TG d'une série de Riemann convergente.

n^\alpha U_n\to 0 pour tout   \alpha, par exemple \alpha=2, ou 3/2, ou... ce qu'on voudra !

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 24-07-17 à 21:46

Un dernier Merci  

Posté par
luzakre : Suite et série numériques 25-07-17 à 09:20

Bonjour scoatarin!
Tu écris  sans justification :  

Citation :
L'exposant est équivalent à   \large {e^{-n^{1/2}}, or l'exponentielle l'emporte
sur toute puissance, donc pour tout , la limite de nUn est 0.

Si u,v sont équivalents en est-t-il de même pour e^u,e^v ?
Tu devrais réfléchir à l'exemple u=1+x,\;v=1+x^2 au voisinage de x=0...

Dans ton cas u_n\underset{n \to+\infty }{\quad\simeq\quad}e^{-\sqrt n} est faux car le quotient a pour limite \sqrt e et non pas 1.

Posté par
larrechre : Suite et série numériques 25-07-17 à 09:52

Mea culpa aussi alors , j'aurais dû vérifier..

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 25-07-17 à 14:46

Bonjour,

Je ne vois pas comment continuer.

Posté par
luzakre : Suite et série numériques 25-07-17 à 15:25

L'équivalent est faux mais la limite est bien  nulle. Par conséquent, ta série est convergente, par choix de \alpha>1, par exemple \alpha=2.

Posté par
scoatarinre : Suite et série numériques 25-07-17 à 15:35

Merci de votre aide, les amis.

Je vais pouvoir passer à un autre exercice demain.

Bonne journée à tous.  


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !