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Suite et terminaison décimale (congruence)
Bonsoir,
Je suis bloquée à une certaine question dans mon exercice de dm de maths expertes.
On considère (Un). On sait que U0=14 et pour tout entier naturel n
Un+1=5Un-6.
J'ai du tout d'abord calculer les 4 premiers termes afin de faire une conjecture: les deux derniers chiffres de Un semblent être à chaque fois 14 ou 64.
Puis à la question suivante j'ai du montrer que pour tout entier naturel n:
Un+2 est congru Un modulo 4.
J'ai donc exprimé Un+2 en fonction de Un puis factorisé l'expression par 4 et le reste était alors 1. Par conséquent, on a bien le reste de la division euclidienne de Un+2 par 4 qui vaut Un. Donc, Un+2 est bien congru à Un modulo 4.
Cependant, la question suivante se complique. Je dois en déduire que pour tout k appartenant à N, U2k est congru à 2 modulo 4, mais également que U2k+1 est congru à 0 modulo 4.
Je ne sais pas à quoi correspond 2k, je ne comprends pas comment l'assimiler à cette suite.
Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Bien cordialement.
On considère (Un). On sait que U0=14 et pour tout entier naturel n , Un+1=5Un-6.
En déduire que pour tout k appartenant à N, U2k est congru à 2 modulo 4, mais également que U2k+1 est congru à 0 modulo 4. Sachant que Un+2 est congru Un modulo 4.
Puis à la question suivante j'ai du montrer que pour tout entier naturel n:
Un+2 est congru Un modulo 4.
J'ai donc exprimé Un+2 en fonction de Un ok puis factorisé l'expression par 4 et le reste était alors 1. je ne comprends pas Par conséquent, on a bien le reste de la division euclidienne de Un+2 par 4 qui vaut Un. Donc, Un+2 est bien congru à Un modulo 4.
Je voulais dire que le reste était 1Un.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi Un+2 a le même reste que U0 modulo 4.
Si je soustrait quelque chose d'un membre je dois soustraire de l'autre membre ?
Bonjour,
Nous n'avons toujours pas l'énoncé mot à mot depuis le premier mot, sans des "on sait que " ou " j'ai du montrer que" superflus.
On ne sait pas ce qui précède "En déduire"...
On considère la suite (Un) d'entiers:
U0=14 et pour tout n entier naturel, Un+1=5Un-6.
1. Calculer U1, U2, U3 et U4.
Quelle conjecture peut-on emmener concernant les deux derniers chiffres de Un ?
2. Montrer que pour tout n entier naturel, Un+2 est congru à Un modulo 4.
En déduire que pour tout k entier naturel, U2k est congru à 2 modulo 4.
J'ai réussi à faire la première question et à conjecturer que les deux derniers chiffres de Un étaient soit 14 soit 64.
J'ai également montré que pour tout n entier naturel, Un+2 est congru à Un modulo 4.
Cependant je n'arrive pas à montrer que pour tout k entier naturel, U2k est congru à 2 modulo 4. En effet je ne comprends pas l'indice 2k comment l'exprimer, à quoi correspond-t-il svp ?
ben par exemple donc k = 3
et et ici encore k = 3
donc tu considères les termes de rang pair et les termes de rang impair ...
ahh oui merci beaucoup.
En revanche j'ai aussi des difficultés à la question suivante.
Je dois montrer par récurrence que pour tout entier naturel n: 2Un=5n+2+3
J'ai réussi à faire l'initialisation mais pour l'hérédité j'ai plus de mal.
J'ai 2Un+1=10Un-12
Et: 5n+3 je n'arrive pas à montrer cette égalité. Pourriez-vous m'éclairer svp ?
Mais oui bien sûr ! Merci beaucoup j'ai donc:
Un+1=2*(Un-6)
Un+1= 10Un-12
Un+1=5*2Un-12
Un+1= 5*(5n+2+3)-12
Un+1=5n+3+3
Donc P(n+1) vraie.....
Je dois maintenant en déduire que pour tout entier naturel n:
2Un est congru à 28 modulo 100.
Je sais que je dois partir de 5n+2+3.
Or quand j'étudie sa congruence je tombe sur un reste de 0 modulo 100. Pourriez vous m'aider svp ?
oui je suis d'accord mais je tombe toujours sur un reste de 0 puis 3.
100divise 25*5n
comme la congruence est compatible avec l'addition on a donc:
25*5n+3 est congru à 3 modulo100.
Ahh d'accord je fais donc étape par étape. J'ai:
5 congru 0 modulo 100
5ncongru 0n donc 0[100]
Donc 5n + 52 congru 52 modulo 100 soit 25.
Merci beaucoup !
On sait que 2Un=5n+2+3.
Par ailleurs, si 5n+2+3 est congru à 28 modulo 100 alors 5n+2 est congru à 25 modulo 100.
On va donc montrer que 5n+2 est congru à 25 modulo 100.
5n+2=5n*52
Mais là en fait je suis bloquée car pour moi:
5 est congru à 0 modulo 100
donc 5nest congru à 0 modulo 100.
Si on multiplie des deux côtés par 52 on aura:
5n+2 congru à 0 modulo 100 sauf que ce n'est pas ce qu'on veut
On va donc montrer que 5n+2 est congru à 25 modulo 100.
oui mais il faut le faire proprement !!!
5 est congru à 0 5 modulo 100
donc 5nest congru à 0 modulo 100.
Si on multiplie des deux côtés par 52 on aura:
5n+2 congru à 0 modulo 100 sauf que ce n'est pas ce qu'on veut
n est un entier donc on démarre à 0 :
5^2 = 25 et 25 = 25 (mod 100)
puis montre le résultat général par récurrence ...
Mais 5n est congru à 5n modulo 100 donc si on multiplie par 52 on aura pas 25. Je ne comprends pourquoi on doit partir de n=0 n peut prendre toutes les valeurs possibles (entier naturel)
ne parle-t-on pas d'une suite dans l'énoncé ? donc indexée par n entier naturel ?
5 * 25 = ... ?
5 * 5 * 25 = ... ?
5 * 5 * 5 * 25 = ... ?
et modulo 100 ?
Donc on aura toujours un reste de 25 dans la division euclidienne de 5n+2 par 100.
Mais je ne sais pas comment le rédiger par calculs.
n est un entier donc on démarre à 0 :
5^2 = 25 et 25 = 25 (mod 100)
puis montre le résultat général par récurrence ...
ben ce n'est pas parce que ce n'est pas demandé qu'on ne doit pas le faire ... quand on n'a pas d'autre moyen ...
un peu d'initiative que diable !!
D'accord mais du coup pour l'hérédité on cherchera à montrer que 2Un+1 est congru à 28[100] ? La congruence de 2Un n'est pas en fonction de n.
n est un entier donc on démarre à 0 :
5^2 = 25 et 25 = 25 (mod 100)
puis montre le résultat général par récurrence ...
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