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suite, étude de convergence selon position de u(0)

Posté par
geronimo 652 30-12-09 à 13:55

bonjour à tous,
j'ai quelques difficulté pour finir cette exercice qui m'a été posé en colle.
le voici:

soit f définie sur privé de -1 définie par 3$f(x)=\frac{2x}{1+x}
on définit (u_n) par u_{n+1}=f(u_n)

J'ai montrer que f est strictement croissante. Les points fixe de f sont 0 et 1.

j'ai déterminer le signe de f(x)-x
\begin{tabular}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty \\{signe}& &+&|&-&0&+&0&-&\\\end{tabular}

donc après j'ai:
si u_0=0 alors (u_n) est constante
si 0<u_0<1 , (u_n) converge vers 1
si u_0=1 alors (u_n) est la suite constante
si u_0>1  alors (u_n) converge vers 1

bien sûr j'ai justifier à chaque fois, mais à partir de là, je ne suis plus sûr...

si u_0<1
on a f([1,+\infty[=[2,+\infty[
donc u_1 appartient à [2,+\infty[
après on retombe dans la dernière situation, (u_n) converge vers 1

Mais après le prof m'a expliqué qu'on pourrait aussi calculé les u_0 où en faisant les marches (sur le graphe) on tombrait sur le point d'intersection de y=x avec l'asymptote vertical d'équation x=-1, mais je ne vois pas comment faire!

si on pouvait m'expliquer comment faire...
merci d'avance
gero

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 30-12-09 à 15:26

personne...

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 30-12-09 à 18:55

en plus je ne suis pas sûr d'être bien clair...
donc si vous voulez des explications, n'hésitez pas...

Posté par
princere : suite, étude de convergence selon position de u(0) 30-12-09 à 19:23

je ne comprend pas trop ce que tu comprends pas...
le truc avec les "marches"? qu on a fait en terminale?

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 30-12-09 à 21:23

oui on le fait en terminale...
en fait si trace la fonction, si on prend un certain u_0 et qu'on regarde comment se comporte la suite graphiquement, on constate que pour certain u_0 on n'est pas dans le cas précédent...
je ne sais pas trop comment l'expliquer, mais vu que f n'est pas défini en -1, on ppeut avoir une "marche" qui ne va jamais atteindre la courbe représentative de la fonction...

J'espère avoir été plus clair...

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 31-12-09 à 09:33

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 31-12-09 à 12:52

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 31-12-09 à 20:17

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 01-01-10 à 11:12

Posté par
matovitchre : suite, étude de convergence selon position de u(0) 01-01-10 à 12:10

Salut geronimo !
J'étudierai les limites (si elles existent (oui car f rationnelle)) en -1^- et -1^+ or, on s'aperçoit que cette limite ne vaut absolument pas -1.

On trouve alors que si u_0<0 alors u converge vers 1.

Sauf erreurs !

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 01-01-10 à 12:25

salut matovitch !

oui la limite en -1^- est +\infty et en -1^+, elle vaut -\infty

mais justement c'est ça le problème car je ne sais pas si tu vois ce que je veux dire par...

Citation :
on peut avoir une "marche" qui ne va jamais atteindre la courbe représentative de la fonction

... puisque y a une limite infini.

Posté par
matovitchre : suite, étude de convergence selon position de u(0) 01-01-10 à 13:26

En effet, si on tombe sur -1 à un moment, le terme suivant ne sera pas défini.
On aura alors une liste à la place de la suite.
Il faut toujours faire un petit travail préalable, à savoir déterminer les ensembles de définition de f,fof,fofof,...

Posté par
geronimo 652re : suite, étude de convergence selon position de u(0) 01-01-10 à 20:04

Citation :
En effet, si on tombe sur -1 à un moment, le terme suivant ne sera pas défini.
On aura alors une liste à la place de la suite.
Il faut toujours faire un petit travail préalable, à savoir déterminer les ensembles de définition de f,fof,fofof,...

je suis fatigué ou je n'ai pas compris...


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