Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Suite exacte courte
Bonjour,
Je me pose une question à propos des suites exactes courtes, je vais essayer de la formuler.
Soit une suite exacte courte (les flèches sont des morphismes de groupes abéliens, ou de modules, peu importe).
On a donc injective,
surjective,
, et
.
La littérature dit que comme est injective, on peut identifier
avec
, i.e.
, et donc
.
Sauf que en général si et
sont deux sous groupes de
abélien et que
on n'a pas forcément
(exemple : Z/2Z et Z/3Z).
Qu'est-ce qui fait qu'on le droit de le dire ici ?
Ma question est un peu tordue. J'espère que quelqu'un pourra me répondre.
La littérature dit que comme
Identifier ca veut pas dire simplement isomorphe, ca veut dire qu'on utilise la meme notation pour (ici) H et i(H).
Quand on écrit G/H isomorphe à K, ca veut dire G/i(H) isomorphe à K (via s).
Merci mokassin.
Ah d'accord, mais comment fait-on pour s'y retrouver une fois qu'on a écrit et qu'il faut en fait savoir que c'est
?
Exemple : la suite exacte courte : , telle que
, et
la surjection canonique. On a bien :
.
Si on applique l'affirmation plus haut à la lettre, on se retrouve avec
C'est juste deux manières differente d'écrire les choses.
Dire que 0->A->B->C->0 est exacte c'est dire que B/A est isomorphe à C, ou l'on identifie A à un sous machin de B, via la fleche A->B.
Si tu identifies 2Z à son image dans Z via la fleche que tu as construit alors tu as bien l'isomorphisme en question. Mais noter 2Z, le terme à gauche dans ta suite exacte est alors maladroit.
salut
i(2k) = i(k + k) = i(k) + i(k) = 2i(k)
donc Im (i) = 2Z (ou du moins est inclus dans 2Z)
Cela ne va pas : i(k) n'est défini que pour k dans 2Z. Alors, pour k=2k', i(2k)=i(4k')=2i(2k)=6k.
On a i(2k)=3k, donc im(i)=i(2Z)=3Z.
C'est juste deux manières differente d'écrire les choses.
Dire que 0->A->B->C->0 est exacte c'est dire que B/A est isomorphe à C, ou l'on identifie A à un sous machin de B, via la fleche A->B.
Si tu identifies 2Z à son image dans Z via la fleche que tu as construit alors tu as bien l'isomorphisme en question. Mais noter 2Z, le terme à gauche dans ta suite exacte est alors maladroit.
Dans la littérature, dire que 0->A->B->C->0 est une suite exacte, c'est dire que im(f_i)=ker(f_i+1), et la littérature identifie A et i(A) (ok), mais en déduit que B/A isomorphe à C.
Donc mon exemple plus haut montre que ce n'est pas toujours vrai !!!!!
La flèche B->C tue les 3Z, la flèche de A->B fait de 2Z un sous-groupe de Z, on a bien des homomorphismes, mais tuer les 2Z n'est pas pareil que tuer les 3Z !
La flèche B->C tue les 3Z, la flèche de A->B fait de 2Z un sous-groupe de Z, on a bien des homomorphismes, mais tuer les 2Z n'est pas pareil que tuer les 3Z !
Ben si puisque tu identifies 2Z au sous module 3Z de Z.
On peut identifier 2Z à 3Z du point de vue du morphisme, qui est d'ailleurs un isomorphisme, mais quand on regroupe par classes d'équivalence, ce n'est plus du tout le même point de vue (je dirais même que c'est le point de vue inverse), c'est là l'erreur.
En fait, en cherchant un peu dans mes textes, je me rends compte que certains auteurs font cette erreur, et d'autres non. Ces derniers disent seulement que la suite : 0->H->G->G/H->0 où H est un sous-groupe de G et la flèche H->G l'injection naturelle, est une suite exacte.
Tu comprends vraiment pas que si tu choisis de noter 3Z pour l'image dans Z de i: 3Z->Z, qui a n associe 2n/3, alors tu as bien évidement Z/3Z=Z/2Z.... c'est simplement un tres mauvais choix de notation.
Et 0->3Z->Z->Z/2Z->0 est du coup exacte.
Mais personne de sain d'esprit ne noterait ca comme ca, mais comme 0->Z->Z->Z/2Z->0.
Mais non, je ne suis pas d'accord, c'est véritablement une erreur, ce n'est pas un choix de notation.
Tu comprends vraiment pas que si tu choisis de noter 3Z pour l'image dans Z de i: 3Z->Z, qui a n associe 2n/3, alors tu as bien évidement Z/3Z=Z/2Z.... c'est simplement un tres mauvais choix de notation.
Tu veux dire i: 2Z-> Z ? Son image, c'est 3Z, ce n'est pas un choix de notation, et on affirme que Z/2Z = Z/3Z, B/A=C, et non pas B/i(A)=C, ce qui est une erreur.
On ne part pas du point de vue que la suite est donnée comme exacte car B/A=C (ce que tu as l'air de supposer), mais par définition parce que i(A->B)=ker(B->C).
Tu comprends vraiment pas que si tu choisis de noter 3Z pour l'image dans Z de i: 3Z->Z, qui a n associe 2n/3, alors tu as bien évidement Z/3Z=Z/2Z.... c'est simplement un tres mauvais choix de notation.
Tu veux dire i: 2Z-> Z ?
Non, je veux bien dire i: 3Z->Z.
Sur le reste, tu te trompes. Mais ca n'a pas vraiment grande importance en fait.
Si f:A->B est un morphisme de module, ce que l'on note (ici et en fait quasi tout le temps) B/A, c'est B/f(A).
Si i:3Z->Z est donné par n->2n/3, alors Z/3Z c'est... Z/i(3Z)=Z/2Z.
Bien sur comme on n'écrit jamais les fleches, c'est une mauvaise idée d'écrire les choses comme ca puisqu'il y a pleins de morphimes 3Z->Z, donc en general, soit on prend les notations les plus claires possibles.
Typiquement au lien de noter i:3Z->Z qui a n associe 2n/3n on notera plutot j:Z->Z qui à n associe 2n (3Z et Z sont des modules isomorphes). Soit on spécifie les morphismes.
D'ailleurs réalises tu que stricto sensu, si A->B->C est exacte, alors B/A n'a a priori aucun sens, meme si A->B est injective.
A n'est pas un sous machin de B, et ce que l'on note B/A, c'est B/f(A) (si f est le nom de la premier fleche). Si f est injective ca n'est vraiment pas une énorme difference.
Si A est un sous machin de B, mais que l'on prend pour premiere fleche, une morphisme différent de l'inclusion de A dans B (que je fais noter j), alors B/A=B/f(A) ne sera pas isomorphe à B/A=B/j(A).
En pratique cela ne pose absolument jamais problème.
Sauf si l'on prend des notations absurdes.
Ce que tu veux dire c'est que si A est un sous module de B, et f une fleche rendant la suite suivante exacte: 0->A->B->C->0, alors on a pas nécéssairement B/f(A)=B/inc(A), c'est vrai, mais personne ne pense ca.
Ce que disent les auteurs que tu as l'air de lire c'est que quand on a une telle suite exacte, sous reserve d'identifier A et f(A), on a B/A=C, ce qui veut dire par définition B/f(A)=C et pas B/inc(A)=C.
D'ailleurs réalises tu que stricto sensu, si A->B->C est exacte, alors B/A n'a a priori aucun sens, meme si A->B est injective.
A n'est pas un sous machin de B, et ce que l'on note B/A, c'est B/f(A) (si f est le nom de la premier fleche).
Je crois comprendre ce que tu veux dire. Puisque B/A ne veut rien dire (en règle générale), on sait que cela veut dire en fait B/f(A).
Si A est un sous machin de B, mais que l'on prend pour premiere fleche, une morphisme différent de l'inclusion de A dans B (que je fais noter j), alors B/A=B/f(A) ne sera pas isomorphe à B/A=B/j(A).
En pratique cela ne pose absolument jamais problème.
Sauf si on le prend au pied de la lettre ...
Mais je ne connais peut-être pas suffisamment les suites exactes (et même pas du tout, je les découvre) pour avoir ce recul. Bon je te relirai plus attentivement demain.
Sauf si on le prend au pied de la lettre ...
Oui, mais je te rassure, en pratique ca n'arrive vrmnt jamais.
Bonjour mokassin,
En fait, puisqu'il y a plein de morphismes 2Z->Z, et qu'on s'autorise à le noter Z->Z, n->3n (je crois que tu as inversé le 2 et le 3) au lieu de 3/2n , se cache la question derrière : à quoi servent les suites exactes ?
Et en fait, pour qu'il n'y ait aucune ambiguïté, il faut que l'injection soit en réalité une inclusion. C'est ce qui me convainc le plus : les auteurs qui ne font l'"erreur" parlent pour i d'une inclusion (ils le précisent bien comme un cas particulier) pour dire que B/A est isomorphe à C.
Les suites exactes sont un petit gadget qui sert à présenter de manière simple un certain type d'info qui apparaît absolument partout en maths.
Et injection ou inclusion c'est kif kif.
En vrai l'inclu n'est pas une bonne notion du pt de vue catégorique.
Et tu ne comprends pas que tous ces objets sont définis a des isomorphismes adequat pres.
Si A->B est une fleche alors B/A est le conoyau de cette fleche (et il depende de la fleche pas uniquement de A et B). Y a aucunement besoin que A soit inclus dans B ce qui n'a souvent meme pas de sens. Et tout ceci n'est defini qu'a isomorphisme pres.
Si 0->A->B->C->0 est exacte alors C est le conoyau de A->B et celui ci est defini a iso unique pres.
En vrai si tu veux te familiariser avec ca, essaie plutot de faire des exos de base. Pas forcement sur la combinatoire/algèbres des suites exactes elles même, mais plutot sur pourquoi elles apparaissent naturellement.
Tres vite tu vas voir que ce sera plus naturel pour toi de noter 0->A->B->C->0 une situation de quotient, que C=B/A, car c'est plus "souple" (la notion d'inclusion est tres "rigide" justement, on en a pas sépcialement besoin, surtout pour des objets définis à isomorphisme pres).
De la meme manière, et pour te donner un exemple, si M et N sont deux A-modules (ou des k-ev, ou des groupes abéliens). Alors on voit toujours M et N comme des sous trucs de . En vrai on a que des injections canoniques (et pour cause
n'est défini qu'a iso unique pres), mais bien sur ca change vraiment rien.
Et qu'autant suite exacte courte et quotient c'est du pareil au même. Autant pour les suites exactes plus longues, il n'y a pas vraiment de manière simple de "résumer" l'info.
Bonjour,
En vrai l'inclu n'est pas une bonne notion du pt de vue catégorique.
Et tu ne comprends pas que tous ces objets sont définis a des isomorphismes adequat pres.
Si A->B est une fleche alors B/A est le conoyau de cette fleche (et il depende de la fleche pas uniquement de A et B). Y a aucunement besoin que A soit inclus dans B ce qui n'a souvent meme pas de sens. Et tout ceci n'est defini qu'a isomorphisme pres.
Si 0->A->B->C->0 est exacte alors C est le conoyau de A->B et celui ci est defini a iso unique pres.
Je ne connais pas les catégories, ni les conoyaux. Par contre, je comprends bien (il me semble) la notion d'isomorphisme, et je reste sur mes positions : Z/2Z n'est pas isomorphe à Z/3Z, et un enchaînement qui aboutit à cela est pour moi une erreur.
Bon ce que je comprends de ce que tu me dis, c'est qu'on ne va définir que des suites exactes qui collent bien au schéma, c'est-à-dire où i est une inclusion implicite. On ne va pas s'amuser (parce que c'est inutile) à travailler avec des suites exactes qui ne seraient pas dans ce schéma.
Maintenant, à quoi reconnait-on parmi les injections, les inclusions implicites ? Par exemple, si I et J sont deux idéaux d'un anneau A,
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac