Oups petit problème *définie par pout tout n qui n'appartient à N privée de 0

Bonjour,

Tu as n! > n(n-1), donc pour n > 1 tu as 1/n! < 1/(n(n-1) = 1/(n-1) - 1/n
Tu utilises cela pour majorer tous les termes de Un, et par éliminations successives(ce que l'on appelle un télescopage), tu en déduis une majoration de Un

J'ai compris la première partie qui montre que comme la somme de n!> à la somme de n(n-1) alors la somme  de 1/n!> 1/n(n-1).

Mais je n'ai pas bien compris le principe du télescopage! est ce que je dois simplifier 1/n-1 - 1/n et trouver un entier qui est >1/n! prouvant ainsi que l'entier est le majorant?

Si tu écris la somme majorante comme 1/(2x3) + 1/(3x4) + 1/(4x5) + ... tu ne vois rien.
En revanche, si tu l'écris comme (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ... tu vois immédiatement les termes qui s'annulent deux à deux, sauf le premier 1/2 et le dernier -1/5. C'est cela le télescopage.
Il te reste à mettre cela en forme en généralisant à un rang n quelconque, en regardant bien à partir de quel terme tu peux commencer à utiliser cette majoration.
Pour ton information, la limite exacte de la suite est le nombre e = 2,718...
  

salut,
autre methode peut-etre plus simple au niveau des calculs ?
si n>=2 alors 1/n!<=1/2^(n-1)

Donc si j'ai bien compris:   1/n!<1/n(n-1) c'est à dire que
1/n!<(1/(n-1)-1/n))+(1/(n+1-1)-1/n+1+1)+(1/(n+1+1-1)-1/n+1+1+1)[...]  donc  

1/n!< [(1/n-1)-(1/n)]+[(1/n)-(1/n+2)]+[(1/n+2)-(1/n+3)] [...]

On remarque effectivement que les termes s'annule sauf le premier et le dernier donc on en conclue que

1/n!<(1er terme - dernier terme) soit 1/n!<(1/n-1)-(1/n) -ou [1/n-1] est le 1er terme et (1/n) est le dernier terme

Mais je ne comprend pas pourquoi je reviens sur ma formule de départ?

Merci pour ta réponse alb12 mais dans l'énoncé on ne nous dit pas que n>=2 donc je ne sais pas si je peut utiliser ton calcul!

u(n)<=1+1+1/2+1/2^2+...+1/2^k+...+1/2^(n-1)
on reconnaît une somme sympathique ....

donc: si n>=2 alors on a 1/n!<= 2^(n-1) c'est à dire que

un<= 1+1/1^1+1/2^2...+1/2^k+...+1/2^(n-1)

Ensuite je fais la somme des termes grâce à la formule: 1-q^(n+1)/1-q et le résultat correspond au majorant

Est ce que mon raisonnement est bon?!

je vous remercie tous les 2 pour l'aide que vous m'avez déjà apporté
mais comme je dois rendre ce dm pour mercredi j'aimerais d'ici la Réussir et terminer cet exercice; donc si je ne vois pas vos messages ce soir je serais présent sur le forum demain dès 18h00 pour essayer de le terminer en espérant que l'un de vous deux soit présent pour m'aider.

Merci

attention un majorant doit etre independant de n

Ah oui c'est vrai! mais après avoir démontrer que  un <= 1+(1/1^1)+(1/2^2)...+ 1/2^(n-1) je dois bien trouver la sommes des termes qui sera = a un entier qui sera le majorant non? Comment faire cette somme?

somme des termes d'une suite geometrique

voila je suis prêt!

J'ai parler avec mon prof de math et il m'a conseillé de prendre ton raisonnement alb12donc je reprend:

n>=2 alors 1/n!<=1/2^(n-1)

Donc on a: Un <= 1+1/1^1 +1/2^2+[...]+1/2^k+[...]+1/2^(n-1) On remarque alors que Un est  majorée par 1+1/1^1 +1/2^2+[...]+1/2^k+[...]+1/2^(n-1)

J'en déduis que Un<= la somme de 1+1/1^1 +1/2^2+[...]+1/2^k+[...]+1/2^(n-1)

Un est une suite géométrique et de forme 1+1/1^1+1/2²+[...]+q^n: D'après n>=2 alors 1/n!<=1/2^(n-1) la raison est de 1/2 soit q=(1/2)) et uo = 1+1/1^1+1/2²= 2+1/4= 9/4


on utilise la formule: U0*[1-q^(n+1)/1-q] AN: 9/4[1-1/2^(n+1)/1-1/2]= 9/4-1/2^(n+1)/1-1/2 = 9/4-1/2(n+1)/-1/2 je ne peux plus simplifier?

Je ne sais pas si j'ai raison mais comme un est un cas particulier de forme 1+1/1^1+1/2²[...]
on devrait utiliser la formule 1/q^(n+1)/1-q
???

1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)=(1-1/2^n)/(1-1/2)< ??

d'après mon cours lorsque on a une suit de forme 1+q+q²...+q^n il s'agit d'un cas particulier et donc la somme se calcule avec la formule: 1-q^(n+1)/1-q

est ce faux?

exact mais ici le termier terme est q^(n-1)

donc a la place de 1-q^(n+1)/1-q  j'utilise 1-q^(n-1)/1-q!

1-q^(n+1)/1-q

oups: donc j'utilise 1-q^(n-1)/1-q

non (1-q^n)/(1-q)

a oui c'est vrai donc:  (1-q^n)/(1-q) AN: 1-(1/2)^n/1-1/2 =1-(1/2)^n/(1/2)= (1/2^n)-1/(1/2) =               1/2[1^n -(1/1/2)]/ 1/2*1 = 1^n-1/2/1 = 1^n-1/2

j'espère que c'est bon!!!

je trouve  

Donc la suite est majorée par 2 mais je ne comprend pas comment tu as fait pour trouver  2(1-(1/2)^n)

diviser par 1/2 c'est multiplier par ....
attention à ne pas oublier le premier 1 de la somme

J'ai trouver un résultat assez similaires: 1-(1/2)^n/1-1/2 =  1/1/2-(1/2)^n/1/2 = 1/2-[(1/2)^n*2/1] =2[1/2-(1/2)^n]

En tout cas je te remercie alb12 pour m'avoir aider à comprendre cet exercice