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suite géométrique

Posté par Marie (invité) 07-04-04 à 21:53

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les suites, j'espére
que vous pourriez m'aider:
Vn=ln (Un) avec U(0)=e, et U(n+1)=racine (Un)
Je dois montrer que (Vn) est géométrique
Et donner l'expression de Vn en fonction de n, puis en déduire
l'expression de Un en fonction de n
Merci d'avance

Posté par
Victor
re : suite géométrique 07-04-04 à 22:01

Bonsoir,

Très rapidement :

Vn+1=ln(Un+1)=ln(VUn)=ln(Un)/2=Vn/2

Donc Vn est géométrique de raison 1/2 et de premier terme V0=ln(e)=1.
Donc Vn=(1/2)^n
Soit Un = exp(Vn)=exp((1/2)^n).

@+

Posté par Marie (invité)re : suite géométrique 08-04-04 à 13:09

Je ne comprends pas comment vous faites pour passer de :
ln (Un+1) à Vn/2

J'aurais également une autre question SVP

Si on pose Sn=V0+V1+V2+......+Vn
et Pn=u0*u1*.....*un
Je dois montrer que Pn=e^Sn
exprimer Sn en fonction de n, puis en déduire Pn en fonctiion de
n.
Merci

Posté par
Océane Webmaster
re : suite géométrique 08-04-04 à 14:21

Bonjour Marie

ln un+1 = ln un
= ln un1/2
= (1/2) ln un
= (1/2) vn


Sn = v0 + v1 + ... + vn

Donc :
eSn
= e v0 + v1 + ... + vn
= e v0 + ev1 + ... + evn
= e ln u0 × eln u1
× ... × eln un
= u0×u1× ... × un
= Pn


Sn = v0 + v1 + ... + vn
(c'est la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de
raison 1/2)

Sn = (1 - (1/2)n+1)/(1 - 1/2)
= (1 - (1/2)n+1)/2
= 1/2 - 1/2n+2

Pn = eSn
= exp(1/2 - 1/2n+2)


A toi de tout reprendre, bon courage ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite géométrique 08-04-04 à 14:26

L'énoncé te donne V(n) = ln(U(n))     (1)

-> V(n+1) = ln(U(n+1))
et comme U(n+1)=racine(Un) par hypothèse ->

V(n+1) = ln(racine(Un)) = (1/2).ln(Un)   (si tu ne comprends pas cela, va
revoir tes leçons sur les logarithmes).
et avec (1) ->

V(n+1) = (1/2).V(n)

-> V(n) = (1/2)^n
-----

Sn = V0+V1+V2+......+Vn  
Pn = u0*u1*.....*un

Or U0 = e
U1 = racine(U0) = e^(1/2)
U2 = racine(U1) = e^(1/4) = e^((1/2)²)
U3 = racine(U2) = e^(1/8) = e^((1/2)²)
...
Un = e^((1/2)^n)

Pn = e * e^(1/2) * e^((1/2)²) * e^((1/2)³) * ... * e^((1/2)^n)
Pn = e^(1 + (1/2) + (1/2²) + (1/2³) + ...(1/2^n))
Pn = e^(V0+V1+V2+......+Vn )
Pn = e^(Sn)

Sn = la somme de n termes en progression géométrique de raison 1/2 et
de premier terme = 1.
Sn = (1 - (1/2)^n)/(1-(1/2))
Sn = 2(1-(1/2)^n)

Pn = e^(2(1-(1/2)^n))
-----
Sauf distraction, vérifie.    

Remarque, en faisant cet exercice, je suis presque sûr de l'avoir déjà
fait avant et probablement sur ce site.
Recherche après avec l'outil de recherche mis à ta disposition.

Posté par
Océane Webmaster
re : suite géométrique 08-04-04 à 14:30

Arf oui, il y a une erreur sur la fin dans ce que j'ai fait

1 - 1/2 = 1/2 et non pas 2 comme je l'ai dit, regarde la correction
de J-P

Merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite géométrique 08-04-04 à 14:32

Je crois que je me suis planté edans le nombre de termes de la suite.

...
Sn = la somme de n+1 termes en progression géométrique de raison 1/2
et
de premier terme = 1.
Sn = (1 - (1/2)^(n+1))/(1-(1/2))
Sn = 2(1-(1/2)^(n+1))

Pn = e^(2(1-(1/2)^(n+1)))
----
Je pense qu'Océane aussi s'est trompée (le dénominateur de
Sn était 1/2 -> il fallait multiplier le tout par 2 et pas diviser).

Attention je n'ai rien vérifié de ce que je dit.



Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite géométrique 08-04-04 à 14:35

Salut Océane, on était tous les 2 dans les nuages.  

Comme le disait un de mes profs quand il se trompait et qu'on lui
faisait remarquer : "C'était pout voir si vous étiez attentifs".



Posté par
Océane Webmaster
re : suite géométrique 08-04-04 à 14:40

Oui lol
Vivement les vacances tiens

@+

Posté par Marie (invité)re : suite géométrique 08-04-04 à 15:33

Merci beaucoup à vous deux

Je dois déterminer la limite de la suite (Sn) puis en déduire celle
de (Pn)

J'ai essayer quelques chose et j'aimerais savoir si c'est juste


lim   (1/2)^n+1 = 0             D'où lim   Sn = 0
n->+00                                        n->+00

Et comme Pn=e^Sn

lim  e^Sn = 1                        D'où lim    Pn = 1
n->+00                                          n->+00

Je ne sais pas quelle limite je dois calculer si il y'a seulement
+00 ou également en -00, 0...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite géométrique 08-04-04 à 15:49

  

Sn = 2(1-(1/2)^(n+1))

lim(n-> oo) Sn = 2.(1 - 0) = 2

Et comme Pn=e^Sn

lim(n-> oo) Pn = e²
----



Posté par (invité)re : suite géométrique 08-04-04 à 18:14

OK merci bien



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