je vous invites à resoudre cette equation;
x , y , z etant trois termes successifs d'une suite geométrique :
1/x + 1/y + 1/z = 36
1/x^2+ 1/y^2 + 1/z^2 = 126
bonne chance.
Soit q la raison de la suite.
On a:
y = xq
z = xq²
1/x + 1/(xq) + 1/(xq²) = 36
1/x² + 1/(x²q²) + 1/(x²q^4) = 126
q² + q + 1 = 36xq²
q^4 + q² + 1 = 126 x²q^4
xq² = (q²+q+1)/36
x²q^4 = [(q²+q+1)/36]²
q^4 + q² + 1 = 126 [(q²+q+1)/36]²
q^4 + q² + 1 = (126/1296) (q^4 + q² + 1 + 2q³ + 2q² + 2q)
q^4 + q² + 1 = (7/72) (q^4 + 2q³ + 3q² + 2q + 1)
72q^4 + 72q² + 72 = 7q^4 + 14 q³ + 21 q² + 14q + 7
65q^4 - 14 q³ + 51q² - 14q + 65 = 0
Cette équation a des coefficients palindromes, ce qui facilite la recherche de ses solutions.
Mais cette équation n'a pas de solutions réelles ????
On trouve des solutions complexes.
q = -0,5 +/- i. (V3)/2
q = 0,607692307692 +/- 0,794172562591 i
supposons q = -0,5 - i. (V3)/2
q² + q + 1 = 36xq²
-> x = 0 -> interdit.
supposons q = -0,5 + i. (V3)/2
q² + q + 1 = 36xq²
-> x = 0 -> interdit.
Supposons q = 0,607692307692 + 0,794172562591 i
q² + q + 1 = 36xq²
-> x = 0,037396449704 - 0,048872157698 i
On a alors y = 0,061538461538 et z = 0,037396449704 + 0,048872157698 i
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On a :
x = 0,037396449704 - 0,048872157698 i
y = 0,061538461538
z = 0,037396449704 + 0,048872157698 i
La raison de la suite étant q = 0,607692307692 + 0,794172562591 i
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On peut croiser les valeurs de x et z avec q = 0,607692307692 - 0,794172562591 i
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Je n'ai évidemment rien vérifié.
Bonjour Algérien
En posant
on arrive à
soit en divisant terme à terme les deux égalités
En refaisant le quotient de ces deux équations on montre que q doit être racine de 65 q² - 79 q + 65 = 0
c'st-à-dire le résultat proposé par J-P
je vous félicite pour vos idées astucieuses,mais la réponses n'est pas aussi dure que ça;
en effet,
1/x^2+1/y^2+1/z^2=(1/x +1/z)^2-2/xz + 1/y^2
avec; xz=y^2 (propriété de la suite géom.)
donc:// = (1/x + 1/z)^2-1/y^2
// = (1/x + 1/z - 1/y)*(1/x + 1/y + 1/z)
on sait que; 1/x + 1/y + 1/z = 36
donc; 1/x - 1/y + 1/z = 126/36
et
1/x + 1/y + 1/z = 36
par soustraction des deux équations on obtient
2/y = 36 - 126/36 (vous pouvez prendre des applications numériques plus commodes)
et le reste est facile,introduire la raison r dans une de ces équations (la deuxième de préférence)
du coup, on a ;x,y,z.
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