Une suite converge si tous les termes de sous-suite convergent.
Dans le cas d'une suite du type U(n+1)=f(Un), l'étude de la fonction relative et de sa limite en + inf indique sa convergence.

Ps : pour les séries du type E(Un)[Somme], quelques règles : le critère de cauchy, le critère de comparaison et le critère d'Alembert(je pense qu'on étudie pas encore ça dans le secondaire...)

bonsoir
je presume que c'est pour une suite geometrique ?.

soit r sa raison.

si |r|<1 (et je dis bien strictement) alors la suite geometrique converge vers 0.

si r=1 la suite est constante et converge vers u(0).

si r=<-1 la suite diverge (on dit divergence d'ordre 2, je crois...)

si r>1 et u(0)>0 alors la suite tend vers +oo
si r>1 et u(0)<0 alors la suite tend vers -oo.

dans le cas general :
si une suite est croissante et majoree alors elle converge.
si une suite est decroissante et minoree alors elle converge.