Bonjour !
Je suis nouveau ici,
J'ai un DM de maths et je bloque sur 2 questions dont 1 qui m'empêche de faire toute la suite de l'exercice...
Voici le sujet :
On imagine un échange de populations entre 2 villes A et B à partir d'une année initiales tel que chaque année la ville A conserve 70% de sa population et à 15% de population de la ville B. On admet que la population initiale de A est de 0.4 unité et que la population totale des 2 villes reste constante égale à 1 unité.
n étant un entier naturel, on note An la population de la ville A au bout de n années et Bn celle de la ville B.
2) Montrer que pour tout entier naturel n, A(n+1) = 0.55An + 0.15
3)On considère la suite (Un) définie pour tout n>= 0 par Un= An-1/3
Alors pour la 2 je n'ai pas réussie du tout et pour la 3 j'ai fais ça mais je n'arrive pas à allé jusqu'au bout :
(Un+1) = (An+1)-1/3
=0.55An +0.15 - 1/3
Étant donné que je voudrais q(Un) ça voudrait donc dire q(An-1/3)
Mais comment faire... ?
Merci d'avance
J'ai mis l'intégralité du sujet et pour ce qu'il en est des questions les voici :
1) justifier que la suite de terme général An+Bn est une suite constante dont on donnera la valeur.
Ceux à quoi j'ai répondu :
An+Bn est une suite constante car on nous dit que malgré les échanges de population entre les villes A et B, la population totale des 2 villes reste constante avec pour valeur 1. D'autant plus que les échanges se faisant entre les 2 villes seulement le nombres d'habitants ne change pas.
3)b. Exprimer Un puis An en fonction de n
3)c. En deduir Bn en fonction de n
4) déterminer les limites des suites (An) et (Bn) puis les interpréter pour les villes A et B
5) conjecturez puis justifier le sens de variation de An
6)a. A l'aide de la calculatrice, déterminer en justifiant au bout de combien d'années la population de la ville A passera sous le seuil de 0.334350 unité.
b. la population de A peut elle être inférieure a 0.333 333 unités.
Voilà pour les question après d'après mes recherches
J'ai trouvé qu'on ajouté 0.09 unité à A chaque année et 0.12 unité à B
Oui pour la question 1
Question 2
l'année n+1, la population de A se compose de de la population de l'année n et de de la population de la ville B
La population de l'année n dans la ville B est
donc
Ahhh mais oui ! Merci beaucoup et du coup pour la 3 je dois utilisé l'expression développer de (An+1) 🤔
Oui est une suite géométrique de raison 0,55
Donnez le premier terme
Des problèmes sur les autres questions ?
Mais du coup pour la suite, trouver Un en fonction de n
Un=0,55n×U0
Pour trouver U0 je fais 0,4-1/3 ?
Ah mais oui je me suis trompé de formule j'avais pris Un+1
Donc Un= 0.55n1/15
Et An on nous dit pas si elle est géométrique ou arithmétique donc il faut que je calcule ?
Ah oui ok je vois merci beaucoup !
J'espère que je ne vous dérange pas... j'avais une autre petite question... pour la 5) j'ai dis que An semble entre décroissante mais pour le prouver je ne sais pas quelle méthode utiliser parce que si je fais An+1-An je pars dans des calcules à rallonge...
Mais la je fais comment pour montrer que c'est inférieur à 0 je fais la limite ?
Ou sinon j'étais en train de faire par formule de récurrence Un+1<Un c'est bon aussi ?
Vous pouvez, mais c'est bien plus long
est bien un nombre négatif les autres termes étant positifs on a bien
Ah mais oui merci effectivement merci beaucoup !
Et bien je vous remercie grandement pour votre aide !! Vraiment merci beaucoup
J'ai juste un problème avec le script...
J'ai fais :
def seuil (s):
n=0
while (0.55((0.55**(n))*(1/15)+(1/3))+0.15)>=s:
n=n+1
return n
Mais quand j'exécute le scripte et que je rentre 0.334350 la calculatrice affiche 0.33435
Il vaut mieux prendre la relation de récurrence que la forme explicite
Il faut un départ A=0,4
while
A reçoit 0,55A+0,15
J'obtiens n=7
Normalement pour l'affichage c'est bon mais le programme un peu moins... parce que je suis obligé de rentré 0.334350 dans le programme ? Je ne peux pas faire une variable ?
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