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suite géométrique

Posté par
chloe9999 25-03-22 à 21:48

Bonsoir,

Pouvez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé :

u est définie par un = u_{n}=\frac{5^{2n-1}}{4^{n-2}}X6 pour tout entier n

1) Démontrer que cette suite est une suite géométrique dont on déterminera le 1er terme et la raison

Je ne sais pas comment m'y prendre

J'ai essayé :

5^{2n-1}>0
4^{n-2} je ne sais pas ?
6>0



2) Déterminer les variations de la suite u

J'ai essayé en utilisant u_{n+1}/u_{n}

\frac{5^{2n}}{4^{n-1}} / \frac{5^{2n-1}}{4^{n-2}}

= \frac{5^{2n}}{4^{n-1}} X \frac{4^{n-2}}{5^{2n-1}}

= \frac{4^{n-1}}{5^{-1}}

3) Emettre une conjecture sur la limite de un lorsque n tend vers + l'infini

4) A l'aide de votre calculatrice, déterminer un arrondi au dixième de u5 puis un encadrement à l'unité de u5


Merci de votre aide.

Posté par
Leilere : suite géométrique 25-03-22 à 22:19

bonsoir,

précise ta suite, stp, ça n'est pas très clair..
est ce
u_{n}=\frac{5^{2n-1}}{4^{n-2}}
?

q1 : exprime Un+1

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 25-03-22 à 22:22

Finalement, si je reprends ma réponse à la question 2, je trouve  que :

un+1/un = 4^-1 / 5^-1 = 1,25
la raison = 1,25

donc un+1/un ne dépend pas de n. La suite est donc géométrique.

Est-ce correct pour la question 1 ?

Merci.

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 25-03-22 à 22:23

Leile @ 25-03-2022 à 22:19

bonsoir,

précise ta suite, stp, ça n'est pas très clair..
est ce
u_{n}=\frac{5^{2n-1}}{4^{n-2}}
?

q1 : exprime Un+1




Oui la donnée de départ est bien celle-ci multipliée par 6.

Posté par
Leilere : suite géométrique 25-03-22 à 22:25

montre moi comment tu exprimes Un+1..

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 25-03-22 à 22:29

un+1 = 5^2n-1+1 : 4^n-2+1

donc 5^2n / 4^n-1

Sinon, pour u0 j'ai trouvé 19,2

et pour la question deux :

1,25>1 donc la suite est strictement croissante car u0>0

Est-ce correct ?

Merci.

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 25-03-22 à 22:35

Pour la question 3 je ne sais pas

Pour la question 4 j'ai trouvé u5=183105,5

et pour l'encadrement :

183105<u5<183106

Est-ce correct ?

Merci.

Posté par
Leilere : suite géométrique 25-03-22 à 22:35

si j'insiste sur Un+1, c'est parce que je pense qu'il y a une erreur..

à partir de 2n-1    ,   quand tu remplaces n par n+1, ca devient  2(n+1)-1   =  2n +2 -1  =  2n +1    et non 2n ..

rectifie ton calcul.
  

Posté par
Leilere : suite géométrique 25-03-22 à 22:40

pour U0  on est d'accord.

En effet, la suite est croissante .

Q4 :   OK

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 25-03-22 à 22:45

Merci beaucoup, je vais reprendre et me reconnecterai demain matin.

Posté par
Leilere : suite géométrique 25-03-22 à 22:49

OK, tu as presque fini. Il y a juste le calcul de la raison à revoir.
A demain !

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 26-03-22 à 08:14

Bonjour,

Je reprends donc mon calcul :

\frac{5^{2(n+1)-1}}{4(n+1)-2+1}X6=\frac{5^{2n+2-1}}{4^{n+1-2+1}}X6=\frac{5^{2n+1}}{4^{n}}X6=\frac{5^{2n+1}}{4^{n}{}}}X\frac{4^{n-2}}{5^{2n-1}}=\frac{5}{4^{-2}}

Mais je bloque là du coup ...

Merci pour votre aide.

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 26-03-22 à 08:24

Euh j'ai oublié de retaper le X 6

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 26-03-22 à 09:40




[tex]\frac{5^{2(n+1)-1}}{4(n+1)-2}=\frac{5^{2n+2-1}}{4^{n+1-2}}=\frac{5^{2n+1}}{4^{n^{-1}}}=\frac{5^{2n+1}}{4^{n^-1}{}}}X\frac{4^{n-2}}{5^{2n-1}}=\frac{5^1}{4^{-1}}X\frac{4^{-2}}{5^{-1}}=6,25

J'ai enlevé le X 6 car finalement il s'annule en haut et en bas.

Est-ce correct ?

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 26-03-22 à 10:34

Finalement j'ai recalculé et je trouve  4 exposant -1 / 5 exposant -1 donc = 1,25 et c'est la raison

Posté par
Leilere : suite géométrique 26-03-22 à 13:03

bonjour,
attention aux égalités que tu écris.

Un+1 = \frac{5^{2(n+1)-1}}{4(n+1)-2}=\frac{5^{2n+2-1}}{4^{n+1-2}}=\frac{5^{2n+1}}{4^{n^{-1}}} \\ \\ Un+1/Un =\frac{5^{2n+1}}{4^{n^-1}{}}}X\frac{4^{n-2}}{5^{2n-1}}=\frac{5^1}{4^{-1}}X\frac{4^{-2}}{5^{-1}}=6,25
conclusion : q=6,25

ensuite tu as refait un calcul et tu as trouvé q=1,25

comment peux tu faire pour savoir quel calcul est bon ?
par exemple vérifier en calculant U0 (que tu as déjà) et U1
tu sauras lever le doute !  

vas y !

Posté par
carpediemre : suite géométrique 26-03-22 à 20:47

salut

lorsqu'on sait qu'une suite définie pour tout entier n et géométrique s'écrit u_n = u_0 \times q^n alors

u_n = 6 \dfrac {5^{2n - 1} } {4^{n - 2}} = 6 \times \dfrac {4^2} {25} \times \dfrac {25^n}{4^n} = \dfrac {96}{25} \left( \dfrac {25} 4 \right)^n

alors on a immédiatement tout ...

Posté par
Leilere : suite géométrique 26-03-22 à 21:08

merci carpediem,
chloe9999   était sur une bonne piste pour la question 1 :
1) Démontrer que cette suite est une suite géométrique dont on déterminera le 1er terme et la raison ...

Posté par
chloe9999re : suite géométrique 27-03-22 à 10:03

Merci beaucoup pour toutes vos précisions

Bonne journée.

Posté par
heklare : suite géométrique 27-03-22 à 10:23

Bonjour

Pour carpediem

Je ne comprends pas votre suite d'égalités

si l'on calcule u_1 avec la première formule, on obtient 120  avec la dernière 24

Posté par
carpediemre : suite géométrique 27-03-22 à 10:33

oui c'est un 5^1 au lieu d'un 5^2 :

carpediem @ 26-03-2022 à 20:47

lorsqu'on sait qu'une suite définie pour tout entier n et géométrique s'écrit u_n = u_0 \times q^n alors

u_n = 6 \dfrac {5^{2n - 1} } {4^{n - 2}} = 6 \times \dfrac {4^2} {5} \times \dfrac {25^n}{4^n} = \dfrac {96}{5} \left( \dfrac {25} 4 \right)^n

alors on a immédiatement tout ...


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