Bonjour, j'ai un devoir maison et je bloque sur quelques questions. Voici l'énoncé :
Un étang artificiel contenant 30 000 litres d'eau polluée à 7% par du purin est destiné à la pisciculture. On suppose que si la proportion de purin dans l'eau est inférieur à 3%, on peut y mettre des poissons. Une eau non polluée se déverse dans l'étang de façon continue avec un débit de 150 litres à l'heure. On suppose que l'étang laisse échapper son liquide à la même vitesse.
Le pisciculteur pourra-t-il y mettre des poissons et si oui au bout de combien de temps ?
On suppose qu'il n'y a pas de facteur extérieur qui intervienne dans le système (évaporation…)
On note v(t) le volume de purin présent dans l'étang à l'instant t. On suppose que v est une fonction dérivable.
Première modélisation
1°) Calculer au bout d'une heure le volume de purin, c'est à dire v (1) .
2°) Vérifier que
v(1)/v(0) =0,995
3°) On note (un) la suite définie par un=v (n) .
a) Expliquer pourquoi cette suite est géométrique de raison 0,995.
b) Calculer avec ce modèle, le volume de purin présent dans l'étang au bout de deux heures, au bout d'une journée.
Deuxième modélisation
Dans cette 2ème modélisation, on suppose qu'à chaque instant, le purin se mélange uniformément dans l'étang. Dans le
l'eau extraite, il y a donc une partie de l'eau saine.
1) On considère deux instants t et t+t suffisamment proches pour admettre que le volume v(t) constant entre ces deux
instants.
a) Justifier que la quantité en litres de purin prélevée est égale à :
(v(t )×Δ (T )×150)/30000
b) En déduire la relation : v (t+ Δ t)−v( t)/Δ t =−0,005 v(t) (taux d'accroissement).
c) Justifier alors la relation suivantes : v ' (t )=−0,005 v(t) (limite du taux d'accroissement).
2) On pose v(t )=k e−0,005t (où k est un réel).
a) Justifier que v(t ) vérifie bien la relation précédente.
b) Justifier que : k=2100 . Exprimer v(t) .
c) Étudier la fonction v et sa limite en +∞ .
d) Calculer avec ce modèle, le volume de purin présent dans l'étang au bout de deux heures, au bout d'une journée.
Comparer ce modèle avec le 1er modèle. Quel modèle vous paraît le plus adapté ?
Pour la 1ere modélisation pas de soucis, j'ai bien réussi :
1) v(1)= v(0)-150*v(0)/30000
= 2089.5 L
2) v(1)/v(0) = 2089.5/2100 = 0.995
3)a v(1) représente u1 soit u0+1 et v(0) représente u0. On a donc u1/u0 soit v1/vo et v1/v0 = 0.995. Donc, c'est bien une suite géométrique de raison q = 0.995 définie par un=2100*0.995n
b
u2 = 2100*0.9952
= 2079.05 L
u24 = 2100*0.99524
Mais après pour la deuxième modélisation, je ne comprend rien. Je suis perdu dans toute les informations et je ne sais absolument pas comment m'y prendre pour le réussir. Merci de me venir en aide si possible !
Bonjour,
pour la deuxième modélisation et à la question 1)a) c'est quoi Δ (T ) ? c'est plutôt Δ t non ??
la question clé qui permet de comprendre et résoudre les autres questions est la 1) a)
tu dois raisonner en terme de pourcentage !
*à t=0 le pourcentage du volume de purin est : 7% = 2100/30000
les 2100 litres vont avoir tendance à diminuer au fil du temps
donc à un instant t quelconque:
v(t) est le volume existant à cet instant t et le pourcentage de purin correspondant est :
v(t) /30000; on pose p= v(t) /30000
*tu considères deux instants: t et t+Δ t et on appelle :
v (t+ Δ t) le volume de purin à l'instant t+Δ t
et v (t) est le volume de purin à l'instant t
nous sommes d'accord sur le fait que le volume de purin a tendance à diminuer donc on a forcément : v (t+ Δ t) < v (t) et
v (t+ Δ t)= (le volume existant à l'instant t ) - ( le volume de purin qui a quitté l'étang )
= v(t) - ( le volume de purin qui a quitté l' étang )
*le temps qui s'est écoulé entre t et t+Δ t est : Δ t
en 1h , 150 litres ( eau pure+purin) quittent l'étang
en Δ t , 150 * Δ t ( eau pure+purin) quittent l'étang ( une simple règle de 3)
mais combien de litres de purin quittent l'étang en une période Δ t ?
c'est là qu'intervient le pourcentage p:
le volume de purin ayant quitté l' étang : (150 * Δ t )*p
donc on reprend:
v (t+ Δ t)= (le volume existant à l'instant t ) - ( le volume de purin qui a quitté l'étang )
= v(t) - ( le volume de purin qui a quitté l' étang )
=v(t)-(150 * Δ t )*p
donc v (t)-v (t+ Δ t)= ?? je te laisser finir
Donc, on a
v (t+ Δ t) = v(t)-(150 * Δ t )*p
v (t)-v (t+ Δ t) (qui est donc, si j'ai bien compris le volume de purin prélevé) = (150*t*v(t))/30000
Qui est donc la formule à justifier dans mon DM.
Merci beaucoup pour votre aide !
Oui c'est exactement ça ,t'as tout compris! ( même si je trouve que la question est mal formulée mais ça c'est un autre sujet..!)
Au fait le but de cette question est de savoir de combien le volume de purin a varié entre deux instants très proches.
Donc en effet v (t)-v (t+ Δ t) représente le volume de purin prélevé entre l'instant t et t+Δ t (c'est à dire durant une période très courte Δ t) autrement dit c'est la variation du volume de purin entre deux instants très très proches.
voila voila ! bon courage .
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