Bonjour Carpediem

Sauf erreur , si c n'est pas nul , par changement de repère on peut se ramener à f(x)=1/x et ça devient évident .

Imod

Bonjour,

Tout comme Imod, que je salue, je pensais à une solution "géométrique". Intersection d'une droite et d'une conique, ici par une parallèle à une asymptote, d'où un point à l'infini et l'autre, unique, à distance finie .

ok merci : effectivement une bonne idée toute simple

Salut,
Pour connaître les valeurs interdites du premier terme d'une suite homographique voir par exemple page 629

merci beaucoup

Bonsoir,

bonjour

et alors ??

avec l'exemple de carpediem , il existe une infinité (d'ailleurs dénombrable) de valeurs de pour laquelle la suite s'arrête sur car le suivant n'est pas défini.
Pour toute autre valeur de la suite est "bien définie", c'est à dire avec un nombre infini de termes, et tend vers 3 d'ailleurs.

par exemple
donne et s'arrête là.

les valeurs interdites sont les termes de la suite (infinie) avec , valeur interdite de
soit

6
9/2 = 4.5
4
15/4 = 3.75
18/5 = 3.6
7/2 = 3.5
24/7 ~ 3.42857...
27/8 = 3.375
10/3 ~ 3.33333...
33/10 = 3.3
36/11 ~ 3.2727...
...
(tend vers 3, comme , cas particulier ici car la solution de est double)

Bonjour,
Sujet intéressant.
Le document conseillé par alb12 répond à la question de manière assez complète.
La page 629 correspond à la page 37 du fichier

Et alors, la suite s'arrête parce qu'on n'est pas dans le bon cadre qui est celui de la droite projective. Avec , on a et . L'homographie a effectivement un point fixe double qui est . On remarque aussi que . En conjugant par l'homographie qui envoie sur , sur et sur , on obtient :

Quel que soit le point de départ la suite définie par la récurrence tend (lentement) vers , ce qui veut dire que les suites homographiques vérifiant   tendent toutes vers . Et si on tient à connaître le tel que , on prend le tel que
, c.-à-d. et on calcule .
Mais, je le répète, exclure la valeur quand on étudie les suites homographiques, c'est se compliquer la vie pour pas grand chose. Le cadre naturel de l'étude des suites homographiques, c'est la droite projective.

J'avais un peu pressenti la grosse ânerie et en prévision j'avais dégainé le "sauf erreur"

Imod

certes mais se placer dans un espace projectif dépasse à mon avis le cadre de la question posée par carpediem
même si c'est intéressant, un tel cadre supprime tout sens à cette question.

merci GBZM pour ce développement très clair

mais effectivement je ne pourrais guère utiliser cela au lycée !!

Il me semble qu'en général il faut éviter les exercices qui utilisent implicitement des théories qui dépassent le cadre du cours . Ici on peut jouer avec les élèves sur les valeurs interdites mais sans que l'élève perde le sens de l'exercice .

Bien sûr , contrairement à l'élève , le prof peut ( doit ? ) se poser ces questions

Imod

Il y a des élèves qui se posent des questions et qui aiment bien avoir des réponses.
On peut biaiser en leur faisant miroiter qu'ils ont encore beaucoup à apprendre dans les années futures.
Pour les suites homographiques que l'on rencontre en terminale, souvent on fait démontrer par récurrence que les termes de la suite sont dans un intervalle qui ne contient pas de valeur interdite.
Mais je crois me souvenir d'exercices où on demande d'admettre que la suite est bien définie. C'est assez frustrant, donc à éviter à mon avis.

Il ne faut pas exagérer la difficulté. Ce n'est pas un espace projectif quelconque ici, mais juste la droite projective, juste ou auquel on a ajouté . Quand on a une homographie avec , il est naturel de la considérer comme une transformation de la droite projective avec et .
Par ailleurs, remarquez que dans mon petit développement, j'ai bien répondu de manière tout à fait explicite à la question "quels sont les pour lesquels on tombe sur ".

Tu parles de la difficulté pour un élève de lycée ?

Imod

Pourquoi un élève de terminale "maths expertes" serait-il incapable de jongler avec ça ?
Avec peut-être un petit support pour la visualisation :

Peut-être parce qu'il y a derrière l'illustration un modèle qui les dépasse un peu . On peut jouer sans problème avec ces figures mais comment relier ça naturellement à un problème d'homographie ?

Je me place bien sûr dans la tête d'un élève de terminale

Imod

Je ne suis, pas plus que tu ne l'es, dans la tête d'un élève de terminale d'aujourd'hui. Quand j'étais en terminale (et même avant), il y a très longtemps, ce genre de choses ne me posait pas problème - mais bien sût l'enseignement des maths a bien changé depuis.
Je veux juste insister sur deux points :
1) Il me semble qu'on peut aisément comprendre l'avantage d'introduire le pour se débarasser des problèmes de "valeurs interdites" pour une homographie.
2) La figure de la projection stéréographique permet de se faire à l'idée que peut être un point comme un autre.

je comprends les réticences de Imod : on voit très bien toutes les difficultés d'ordre général tant sur le plan des savoir-faire élémentaires que sur (et surtout) leur capacité à produire une réflexion et à "imaginer" / penser / interpréter / produire un modèle même avec ton image (GBZM), d'autant plus qu'on fait tellement peu de géométrie (sauf la "analytique" car calculatoire : "on fait" des formules ... sans leur donner du sens et les comprendre)

même si tu as raison et ce d'autant plus que ce système est utilisé en cartographie ... même si je ne crois pas qu'en géographie au lycée on se pose des questions de cartographie (ce qui pourtant pourrait faire un bon thème transversal math-géo)

on peut éventuellement faire une digression orale lors d'un travail sur les fonctions homographique et faire un peu d'histoire des math mais ensuite quand on voit les difficultés de calcul avec les fractions il est très difficile de pousser un peu plus loin et de "théoriser" ce modèle.

Le lien entre matrices et homographies peut être fait. Une matrice de déterminant non nul donne une homographie  ... bon, je ne vais pas m'embarquer dans cette histoire mais c'est tout de même un chouette mélange d'algèbre, de géométrie et d'analyse.

@carpediem
Je te pique l'idée