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suite homographique

Posté par
carpediem
02-05-24 à 12:01

salut

soit (u_n) une suite définie par une relation de récurrence homographique du type  u_{n + 1} = \dfrac {ax + b}{cx + d} = f(u_n)  et son premier terme  u_0 = u.

comment justifier qu'une telle suite est bien définie ?

EX : soit u_{n + 1} = \dfrac 9 {6 - u_n} $ et $ u_0 = -1

comment justifier que \forall n \in \N : u_n \ne 6  ?

bien sûr cela dépend du premier terme et il faut donc montrer que  \forall n \in \N : f^n (u) \ne 6 \iff \forall n \in \N : f^{-n} (6) \ne u

(la puissance désigne la composition et évidemment on est dans les hypothèses ou f est inversible sur les ensembles adéquats)


PS : je poste ici car je pense que c'est un exercice intéressant mais aussi parce que j'aimerais avoir une justification (relativement) simple.

merci par avance

Posté par
Imod
re : suite homographique 02-05-24 à 12:21

Bonjour Carpediem

Sauf erreur , si c n'est pas nul , par changement de repère on peut se ramener à f(x)=1/x et ça devient évident .

Imod

Posté par
larrech
re : suite homographique 02-05-24 à 12:30

Bonjour,

Tout comme Imod, que je salue, je pensais à une solution "géométrique". Intersection d'une droite et d'une conique, ici par une parallèle à une asymptote, d'où un point à l'infini et l'autre, unique, à distance finie .

Posté par
carpediem
re : suite homographique 02-05-24 à 15:13

ok merci : effectivement une bonne idée toute simple

Posté par
alb12
re : suite homographique 02-05-24 à 16:55

Salut,
Pour connaître les valeurs interdites du premier terme d'une suite homographique voir par exemple page 629

Posté par
carpediem
re : suite homographique 02-05-24 à 19:12

merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : suite homographique 02-05-24 à 22:13

Bonsoir,

Citation :
Sauf erreur , si c n'est pas nul , par changement de repère on peut se ramener à f(x)=1/x et ça devient évident .

Sûrement pas ! Une homographie n'a aucune raison en général d'être involutive.
Le mieux, pour ne pas s'embêter, est de se placer sur la droite projective complexe. On n'a plus alors à se poser de problème de définition ! Et toute homographie est alors conjuguée à \Large z\mapsto kz ou \large z\mapsto z+1.

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite homographique 03-05-24 à 00:28

bonjour

et alors ??

avec l'exemple de carpediem u_{n + 1} = \dfrac 9 {6 - u_n}, il existe une infinité (d'ailleurs dénombrable) de valeurs de u_0 pour laquelle la suite s'arrête sur u_n = 6 car le suivant n'est pas défini.
Pour toute autre valeur de u_0 la suite est "bien définie", c'est à dire avec un nombre infini de termes, et tend vers 3 d'ailleurs.

par exemple u_0 = \dfrac{7}{2}
donne u_1 = \dfrac{18}{5},\; u_2 =\dfrac{15}{4},\; u_3=  4,\;  u_4 = \dfrac{9}{2},\; u_5 = 6 et s'arrête là.

les valeurs interdites sont les termes de la suite (infinie) V_{n+1} = f^{-1}(Vn) avec V_0 = 6, valeur interdite de f
soit

6
9/2 = 4.5
4
15/4 = 3.75
18/5 = 3.6
7/2 = 3.5
24/7 ~ 3.42857...
27/8 = 3.375
10/3 ~ 3.33333...
33/10 = 3.3
36/11 ~ 3.2727...
...
(tend vers 3, comme u_n, cas particulier ici car la solution de \dfrac{9}{6-x} = x est double)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite homographique 03-05-24 à 08:56

Bonjour,
Sujet intéressant.
Le document conseillé par alb12 répond à la question de manière assez complète.
La page 629 correspond à la page 37 du fichier

Posté par
GBZM
re : suite homographique 03-05-24 à 09:27

Et alors, la suite s'arrête parce qu'on n'est pas dans le bon cadre qui est celui de la droite projective. Avec \Large f(x)=\dfrac{9}{6-x}, on a \Large f(6)=\infty et \Large f(\infty)=0. L'homographie a effectivement un point fixe double qui est \Large 3. On remarque aussi que \Large f(-3)=1. En conjugant f par l'homographie \Large w=h(x)=-\dfrac12\times \dfrac{x+3}{x-3} qui envoie \Large 3 sur \Large \infty, \Large -3 sur \Large 0 et \Large 1 sur \Large 1, on obtient :
\Large g = h f h^{-1} : w\mapsto w+1
Quel que soit le point de départ \Large w_0 la suite définie par la récurrence \Large w_{n+1} = g(w_n) tend (lentement) vers \Large \infty, ce qui veut dire que les suites homographiques vérifiant  \Large x_{n+1} = f(x_n) tendent toutes vers \Large h^{-1}(\infty)=3. Et si on tient à connaître le \Large x_0 tel que \Large x_n=\infty, on prend le \Large w_0 tel que
\Large w_n=w_0+n= h(\infty)=-\dfrac12, c.-à-d. \Large w_0= -n-\dfrac12 et on calcule \Large x_0= h^{-1}(w_0)=3\, \dfrac{n+1}{n} .
Mais, je le répète, exclure la valeur \infty quand on étudie les suites homographiques, c'est se compliquer la vie pour pas grand chose. Le cadre naturel de l'étude des suites homographiques, c'est la droite projective.

Posté par
Imod
re : suite homographique 03-05-24 à 10:25

J'avais un peu pressenti la grosse ânerie et en prévision j'avais dégainé le "sauf erreur"

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite homographique 03-05-24 à 10:51

certes mais se placer dans un espace projectif dépasse à mon avis le cadre de la question posée par carpediem
même si c'est intéressant, un tel cadre supprime tout sens à cette question.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite homographique 03-05-24 à 10:54

Citation :
j'aimerais avoir une justification (relativement) simple.
Pour répondre à une éventuelle question d'élève de terminale ?

Posté par
carpediem
re : suite homographique 03-05-24 à 10:58

merci GBZM pour ce développement très clair

mais effectivement je ne pourrais guère utiliser cela au lycée !!

Posté par
Imod
re : suite homographique 03-05-24 à 11:16

Il me semble qu'en général il faut éviter les exercices qui utilisent implicitement des théories qui dépassent le cadre du cours . Ici on peut jouer avec les élèves sur les valeurs interdites mais sans que l'élève perde le sens de l'exercice .

Bien sûr , contrairement à l'élève , le prof peut ( doit ? ) se poser ces questions

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite homographique 03-05-24 à 11:48

Il y a des élèves qui se posent des questions et qui aiment bien avoir des réponses.
On peut biaiser en leur faisant miroiter qu'ils ont encore beaucoup à apprendre dans les années futures.
Pour les suites homographiques que l'on rencontre en terminale, souvent on fait démontrer par récurrence que les termes de la suite sont dans un intervalle qui ne contient pas de valeur interdite.
Mais je crois me souvenir d'exercices où on demande d'admettre que la suite est bien définie. C'est assez frustrant, donc à éviter à mon avis.

Posté par
GBZM
re : suite homographique 03-05-24 à 12:09

Il ne faut pas exagérer la difficulté. Ce n'est pas un espace projectif quelconque ici, mais juste la droite projective, juste \Large\mathbb R ou \Large\mathbb C auquel on a ajouté \infty. Quand on a une homographie \Large  h:x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d} avec \Large ad-bc\neq 0, il est naturel de la considérer comme une transformation de la droite projective avec \Large h(-d/c)=\infty et \Large h(\infty)=a/c.
Par ailleurs, remarquez que dans mon petit développement, j'ai bien répondu de manière tout à fait explicite à la question "quels sont les \large x_0 pour lesquels on tombe sur \infty".

Posté par
Imod
re : suite homographique 03-05-24 à 12:14

Tu parles de la difficulté pour un élève de lycée ?

Imod

Posté par
GBZM
re : suite homographique 03-05-24 à 12:40

Pourquoi un élève de terminale "maths expertes" serait-il incapable de jongler avec ça ?
Avec peut-être un petit support pour la visualisation :

suite homographique

Posté par
Imod
re : suite homographique 03-05-24 à 19:07

Peut-être parce qu'il y a derrière l'illustration un modèle qui les dépasse un peu . On peut jouer sans problème avec ces figures mais comment relier ça naturellement à un problème d'homographie ?

Je me place bien sûr dans la tête d'un élève de terminale

Imod

Posté par
GBZM
re : suite homographique 03-05-24 à 19:51

Je ne suis, pas plus que tu ne l'es, dans la tête d'un élève de terminale d'aujourd'hui. Quand j'étais en terminale (et même avant), il y a très longtemps, ce genre de choses ne me posait pas problème - mais bien sût l'enseignement des maths a bien changé depuis.
Je veux juste insister sur deux points :
1) Il me semble qu'on peut aisément comprendre l'avantage d'introduire le \Large \infty pour se débarasser des problèmes de "valeurs interdites" pour une homographie.
2) La figure de la projection stéréographique permet de se faire à l'idée que \infty peut être un point comme un autre.

Posté par
carpediem
re : suite homographique 03-05-24 à 20:32

je comprends les réticences de Imod : on voit très bien toutes les difficultés d'ordre général tant sur le plan des savoir-faire élémentaires que sur (et surtout) leur capacité à produire une réflexion et à "imaginer" / penser / interpréter / produire un modèle même avec ton image (GBZM), d'autant plus qu'on fait tellement peu de géométrie (sauf la "analytique" car calculatoire : "on fait" des formules ... sans leur donner du sens et les comprendre)

même si tu as raison et ce d'autant plus que ce système est utilisé en cartographie ... même si je ne crois pas qu'en géographie au lycée on se pose des questions de cartographie (ce qui pourtant pourrait faire un bon thème transversal math-géo)

on peut éventuellement faire une digression orale lors d'un travail sur les fonctions homographique et faire un peu d'histoire des math mais ensuite quand on voit les difficultés de calcul avec les fractions il est très difficile de pousser un peu plus loin et de "théoriser" ce modèle.

GBZM @ 03-05-2024 à 12:40

Pourquoi un élève de terminale "maths expertes" serait-il incapable de jongler avec ça ?
pour les côtoyer je peux te dire que beaucoup d'élèves de math expertes choisissent cette option non pas pour "faire des math" mais plutôt pour assurer leur plan de carrière et Parcoursup malheureusement.
ainsi les nombres complexes, qui sont un nouveau modèle de nombres, posent beaucoup de problèmes alors leur proposer un modèle de droite avec un point à l'infini restera très ... mystérieux si ce n'est une entourloupe de notre part

par contre les matrices passent "mieux" ... car c'est calculatoire.
au début je parlais un peu d'espace vectoriel et de vecteurs propres mais c'est de plus en plus difficile ...

le problème je pense est leur capacité d'abstraction et à formaliser pour se dire que \infty peut être un point à l'infini

en tout cas merci pour ton intervention

Posté par
GBZM
re : suite homographique 03-05-24 à 22:50

Le lien entre matrices et homographies peut être fait. Une matrice \Large \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} de déterminant non nul donne une homographie  ... bon, je ne vais pas m'embarquer dans cette histoire mais c'est tout de même un chouette mélange d'algèbre, de géométrie et d'analyse.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite homographique 04-05-24 à 07:26

Citation :
c'est tout de même un chouette mélange d'algèbre, de géométrie et d'analyse.
Tout à fait d'accord !

Posté par
alb12
re : suite homographique 04-05-24 à 21:29

@carpediem
Je te pique l'idée



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