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suite implicite et logarithme
Salut j'ai trouvé un exercice sur les suites implicites et j'ai quelques difficultés dans la dernière question. J'ai pu résoudre toutes les autres.
L'énoncé:
Soit fn(x)=x-n.ln(x)
définie sur R+ non nul
avec n entier naturel non nul
1)a) Étudier les variations de fn.
Montrer que pour tout n>2
fn(x)=0 admet deux racines positives un et vn,
avec 0 < un < n < vn.
b) Pour n > 2,
Montrer que 1 < un < exp
Montrer que fn(un+1)=ln()un+1
Montrer que (un) est strictement décroissante et convergente.
c)En encadrant ln(un)
déterminer la limite de la suite (un).
Montrer que n(un − 1) tend vers 1 quand n tend vers +∞.
2)a)déterminer la limite de la suite (vn).
b)calculer fn(n.ln(n)) puis déduire que
pour tout n>2
n.ln(n)>vn
c)Montrer que pour tout x appartient R+ non nul
x>2ln(x)
d)déterminer le signe de fn(2n.ln(n)) puis montrer que pour tout n>2
n.ln(n)<vn<2n.ln(n)
e)Montrer enfin que
vn/n.ln(n)
tend vers 1 quand n tend vers +∞.
(c'est cette question que j'ai pas pu résoudre)
Merci
salut
merci pour l'énoncé clair et complet ...
deux remarques cependant :
montrer que 1 < u_n < exp
exp est le nom de la fonction exponentielle et tu veut plutôt dire :
1 < u_n < e ou 1 < u_n < exp (1)
ensuite il uarait été bien de nous donner certaines réponses (par exemple les limites)
car pour en revenir à ta question il me semble que les questions 2a/ et 2d/ devraient te permettrent de conclure
la question d/ nous dit que 1 < v_n / (n ln n) < 2 donc (on peut montrer que) la suite (v_n /(n ln n)) converge ...
mais je ne vois pas plus loin pour l'instant ... et je n'ai pas le temps (de réfléchir) ...
J'ai essayé un peu mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste ou non
on pose g(x)=x-ln(x)
on g croissante et bijective de ]1,+infini[ vers ]1,+infini[
donc admet une réciproque g-1
on g(vn/n)=ln(n) (je l'ai calculé)
implique que vn/n=g-1(ln(n)) A
implique que vn/n.ln(n)=g-1(ln(n))/ln(n)
(soit a appartient ]1,+infini[ t.q ln(n)=a-ln(a))
en introduisant la limite a A on trouve le résultat
vn/n.ln(n) tend vers 1 quand n tend vers +∞.
j'ai une faute
J'ai essayé un peu mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste ou non
on pose g(x)=x-ln(x)
on g croissante et bijective de ]1,+infini[ vers ]1,+infini[
donc admet une réciproque g-1
on g(vn/n)=ln(n) (je l'ai calculé)
implique que vn/n=g-1(ln(n)) A
implique que vn/n.ln(n)=g-1(ln(n))/ln(n)
(soit a appartient ]1,+infini[ t.q ln(n)=a-ln(a))
en introduisant la limite a A on trouve le résultat
vn/n.ln(n) tend vers 1 quand n tend vers +∞.
on g-1(ln(n))/ln(n)=(g-1(ln(n)))'=1/g'(a)=1/(1-1/a)
on si n tend vers l'infini a l'est aussi donc lim 1/(1-1/a)=1
d'ou le résultat
il y a un pb dans la démonstration de lake car la question 2b/ dit que v_n - n ln n < 0
Bonjour,
Tu sais d'une part que
D'autre part:
et le dernier terme tend vers
ok pour l'inégalité !!!
et ensuite ok ... pour l'égalité !!! (en fait après j'avais compris)
merci lake
Bonjour,
Je vais être un peu hors sujet en intervenant sur le tout début, la question 1b).
Une fois démontré fn(un+1) = ln(un+1) , comment en déduire un+1 < un ?
Je trouve fn(un+1) > 0 .
Maisalors on en déduit un+1 < un ou un+1 > vn .
Ne serait-il pas plus simple d'utiliser fn+1(un) = -ln(un) < 0 ?
car on sait que un < n < n+1 alors qu'on ne sait pas que un+1 < n .
Bonjour Sylvieg,
Je ne vois pas pas ce qui te chagrine:
Je trouve fn(un+1) > 0 .
Autrement dit
Or on sait que
Non ?
On sait que un < n , je suis d'accord.
Mais on ne sait pas que un+1 < n . En tous cas je n'en ai pas vu de trace évidente.
Merci pour l'aide et désolé pour le retard et les petites fautes dans l'énoncé
Sylvieg carpediem lake
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