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Posté par
vham
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 08:09

Bonjour,

L'idée depuis la suggestion de lake du  18-02-20 à 13:34
Prendre la limite de (1-f(un))/(1-un) comme égale à -1/2   (reprise du calcul de la dérivée)

conduit à un=1-2/n d'où u_n^n=\left(\left((1-\dfrac{2}{n}\right)^{-n/2}\right)^2 = \dfrac{1}{e^2}

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 08:42

Bonjour à tous,

  Je crois qu'il est temps de donner une solution.

4)

FerreSucre, tu as conjecturé (encore ) que \lim\limits_{n\to +\infty}u_n^n=\dfrac{1}{e^2}

On peut penser montrer que \lim\limits_{n\to +\infty}ln\,u_n^n=-2

  ln\,u_n^n=n\,\ln\,u_n=n(u_n-1)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)

  ln\,u_n^n=n(u_n-1)+u_n-1 (1)


On cherche maintenant \lim\limits_{n\to +\infty}n(u_n-1)

    \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{f(u_n-1)}{u_n-1}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-1}{x-1}=f'(1)=-\dfrac{1}{2} (par continuité de f en 1)

  mais \dfrac{f(u_n-1)}{u_n-1}=\dfrac{1}{n(u_n-1)} (avec la définition de u_n)

Du coup \lim\limits_{n\to +\infty}n(u_n-1)=-2

  et le passage à la limite dans (1) donne \lim\limits_{n\to +\infty}ln\,u_n^n=-2

  soit \lim\limits_{n\to +\infty}u_n^n=\dfrac{1}{e^2}

L'origine de cet exercice avec une question intermédiaire mais avec un énoncé très incomplet: étude d'une fonction

  A l'époque, je me souviens que j'étais très fâché

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 08:45

Une erreur de parenthésage:

  

Citation :
 \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{f(u_n)-1}{u_n-1}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-1}{x-1}=f'(1)=-\dfrac{1}{2} (par continuité de f en 1)


mais \dfrac{f(u_n)-1}{u_n-1}=\dfrac{1}{n(u_n-1)} (avec la définition de u_n)

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 10:18

J'étais bon ducoup avec ma tangente :

T_1 =
 \\ = -0.5x + 1.5

Et ducoup la limite va être la même, même degré de pente...

-0.5x + 1.5 = 1+1/n

x = 1-\dfrac{2}{n}

Soit : U_n = 1-\dfrac{2}{n}, quand n —) +oo.

Et on avait :

\lim_{n\to +\infty}U_n^n = \lim_{n\to +\infty}e^{(n+1)(U_n-1)}

\lim_{n\to +\infty}(n+1)(U_n-1) = \lim_{n\to +\infty}(n+1)((1-2/n)-1) = \lim_{n\to +\infty}(n+1)(\dfrac{-2}{n}) = \lim_{n\to +\infty}\dfrac{-2n-2}{n} = -2

Donc :

\lim_{n\to +\infty}U_n^n = e^{-2} = \dfrac{1}{e²}

Je retiendrai ducoup le nombre dérivée, fallait y penser au début ! J'ai juste pensé à une fonction qui ressemblerait à l'autre et après j'ai reussi à comprendre que y'avait un lien avec le nombre dérivée f'(1) = -1/2.

Sympa cette limite en tout cas

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 10:22

Citation :
FerreSucre, tu as conjecturé (encore ) que \lim\limits_{n\to +\infty}u_n^n=\dfrac{1}{e^2}


J'ai pas vraiment conjecturé pour la fin
J'ai eu du bol avec ma fonction 1/(2x) + 0.5
Qui m'a éclairé l'esprit sur la tangente vers la fin .

Posté par
malou Webmaster
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 10:23

Citation :

T_1 = \\  \\ = -0.5x + 1.5

pas plus que
Citation :
Pardon erreur, la tangente est
\dfrac{-1}{2}x+1.5

ne sont des équations de tangente...tu vas te faire taper sur les doigts par ton prof si tu écris des choses comme ça

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 10:31

y = f'(a)(x-a) + f(a)
y = \dfrac{-1}{2}x +1/2 + 1
y = \dfrac{-1}{2}x + \dfrac{3}{2}

Je vais me faire taper à cause de ma tangente :(, à cause de mon 0.5 au lieu de 1/2 ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 10:50

non pas du tout, à cause du fait que tu écris T= ou la 2e fois, tu n'écris pas y=...
n'oublie pas, une équation de droite est une relation entre les coordonnées x et y des points du plan
s'il en manque un bout, tu n'as plus d'équation (de droite)

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 11:01

Ah oui, faudrait que je mette « Equation tangente : y =.... »

Posté par
malou Webmaster
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 11:06

tout à fait

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 13:56

En tout cas merci lake pour cet exercice, plutôt intéressant et complet.

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:19

Ça serait pas mal que je m'entraîne sur tout ce qui est continuité, domaine de définition, dérivable en 1 point, avez vous un exercice de ce style ? Pour que je m'entraîne , ça m'évitera de loupée la justification plus tard au lieu de mettre

Citation :
f est continue

Sans justification

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:24

Petite question pour montrer que :
f(x) = \dfrac{lnx}{x-1}

Est continue en 1, on peut montrer que

\lim_{\frac{x\to 1}{x < 1}}\dfrac{lnx}{x-1} = \lim_{\frac{x\to 1}{x > 1}}\dfrac{lnx}{x-1}

? Dans le cas plus général ?

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:43

En l'occurrence, il suffit de montrer que:

  \lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:45

Oui mais si une fonction est discontinue comme 1/x , la il faut faire 0- et 0+, et on remarque c'est discontinu ?

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:47

C'est pour ça que je disais dans le cas le plus général. Faut faire attention si 0- et 0+ sont différent mais pour notre fonction ce n'était pas le cas donc juste lim en 1 suffisait.

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:49

Oui, mais l'exemple de la fonction inverse est mal choisi: vu que qu'elle n'est pas définie en 0, elle est discontinue en 0.

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:50

Oui je sais c'est pour ça si la limite en 0- est différente de 0+ alors la fonction est discontinue ?

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:52

Oui.

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 14:52

Ok

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 19-02-20 à 21:55

Au cas où tu repasses par ici FerreSucre,

Ayant atteint un âge que tu jugerais sans doute canonique, je deviens curieux (je sais: la vieillesse est un naufrage).

A plusieurs reprises, tu as lâché quelques accords de participe passé qui laissent à penser que tu es du genre féminin.

Néanmoins, ton attitude générale est typiquement masculine.

D'où ma question (très indiscrète je le reconnais):

Tu es une fille ou un garçon ?

Évidemment, tu n'es pas obligé(e) de répondre...

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 04:08

Non t'inquiètes sans problème, le discours philosophique de lake.
Je suis un garçon, 16 ans.
Je repasse partout moi lake
« Je lâche des accords de participe passé »
Tu es allé chercher loin
Il me semble pas avoir dit des accords de participes passé me désignant du genre féminin . Après y'a peut-être un « e » qui a glissé sur mon clavier parfois, sans faire exprès. En écrivant sur un clavier de 6cm sur 4 l'erreur peut-être fréquente

Bonne journée/matinée ou nuit.

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 04:10

Si jamais tu repasses par ici bien évidemment.

Posté par
lake
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 11:04

Voici quelques exemples à la source de mes interrogations (je te cite et il y en a d'autres):

  

Citation :
Je suis censée toujours la conserver comme pour :


Citation :
co11 je suis censée être en première xD et censée ne pas avoir vue les limites aussi...


Citation :
Et ducoup fin je suis pommée xD ?


Citation :
Je te lis t'inquiètes mais je suis perdue, les raisonnements par récurrence c'est extrêmement tordu comme concept... x)

  

Bonne journée FerreSucre

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 11:40

Effectivement y'en a beaucoup des erreurs , faut que je fasse attention !

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 12:26

Apparemment j'ai surtout un problème avec mes « censé »

Posté par
alb12
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 13:06

salut, et aussi avec le jus (jeu) de pomme (paume)

Posté par
FerreSucre
re : Suite implicite pour FerreSucre 20-02-20 à 14:35

Ah m'en parle pas mdr j'ai du apprendre ce chapitre, 1789 à 1814 par coeur avec les E3C, et je suis tombé dessus

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