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Suite integrale

Posté par
kikoking41 29-05-23 à 10:44

Bonjour
je suis bloqué à la question 4) b)
J'ai essayé de majoré l'expression à l'intérieur de l'intégral mais j'ai pas pu faire apparaitre le n au denominateur qui peut me donner une indication et merci pour d'avance.

Suite integrale

* Modération > Image tournée pour être lisible *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite integrale 29-05-23 à 11:10

Bonjour,
Tu n'es pas nouveau sur l'île...
Tu devrais avoir compris qu'il est demandé, pour le référencement du sujet, de recopier au moins le début de l'énoncé ou du texte,
comme exigé dans A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI
et tu as vu ceci en joignant ton image :

Citation :
Énoncé d'exercice (ou de problème) et recherches (même non abouties) : le respect de la Q.05 de la FAQ est obligatoire.
Pour lire la Q.05 :
attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?


Quand ce sera complété en réponse ici dans cette discussion, tu auras de l'aide.
Et n'oublie pas de faire "Aperçu" avant de poster

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 29-05-23 à 23:29

Ok merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite integrale 30-05-23 à 07:38

Quand vas-tu recopier les premières lignes de l'énoncé ?

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 09:32

Soit Fn la fonction définie par Fn(x)=0 à x de expt/(1+exp(-nt))dt
Justifier que pour tout t dans (0,+infini( on a
Expt/1+exp(-nt) supérieur à expt/2

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 14:35

Bonjour,

Une idée pour 4)b) mais très tarabiscotée (probablement pas ce qui est attendu) :

n\geq 1 \\
I_n =\int_0^{U_n}\dfrac{e^{(1-n)t}}{1+e^{-nt}}\,\text{d}t=\int_0^{U_n}\dfrac{e^t.e^{-nt}}{1+e^{-nt}}\,\text{d}t

Sur [0,U_n], e^t\leq e^{U_n} donc :

I_n\leq e^{U_n}\int_0^{U_n}\dfrac{e^{-nt}}{1+e^{-nt}}\,\text{d}t=e^{U_n}\int_0^{U_n}\dfrac{1}{1+e^{nt}}\,\text{d}t=e^{U_n}\,J_n

L'intégrande de J_n est positive et U_n\leq U_0=\ln\,3

Donc J_n\leq \int_0^{\ln_,3}\left(1-\dfrac{e^{nt}}{1+e^{nt}}\right)\,\text{d}t

J_n\leq \left[t-\dfrac{1}{n}\ln\left(1+e^{nt}\right)\right]_0^{\ln\,3}

J_n\leq \dfrac{1}{n}\left(\ln\,2+\ln\left(\dfrac{3^n}{3^n+1}\right)\right)\leq \dfrac{1}{n}\,\ln\,2\leq \dfrac{1}{n}

Au final : e^{U_n}-2=\int_0^{U_n}\dfrac{e^{(1-n)t}}{1+e^{-nt}}\,\text{d}t\leq \dfrac{e^{U_n}}{n}

Très filandreux mais faute de mieux ...

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 15:47

Merci beaucoup
On peut aussi après la factorisation par expUn de passer à la primitive directement
De exp-nt/(1+exp-nt) puis on majore ln(2/(1+exp-nt)) par 1 et on trouve résultat.
Svp dans la mojartion de Jn j'ai pas compris les calculs ,normalement on a ln3 a la place de ln2

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 15:59

Citation :
passer à la primitive directement
De exp-nt/(1+exp-nt) puis on majore ln(2/(1+exp-nt)) par 1 et on trouve résultat.


Tu as certainement raison mais il me faudrait quelques détails pour comprendre.

Citation :
dans la mojartion de Jn j'ai pas compris les calculs ,normalement on a ln3 a la place de ln2


Avec \ln\,3>1, ce serait cuit ...

Citation :
J_n\leq \dfrac{1}{n}\left[\ln\,2+\ln\left(\dfrac{3^n}{3^n+1}\right)\right]


Le crochet comporte une somme de deux termes : \ln\,2 et \ln\left(\dfrac{3^n}{3^n+1}\right) qui est négatif non ?

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 16:10

Ah ! Je vois ce que tu veux dire (pour ta dernière remarque).
Mais tu as tort :

Citation :
J_n\leq \left[t-\dfrac{1}{n}\ln\left(1+e^{nt}\right)\right]_0^{\ln\,3}


J_n\leq \ln_,3-\dfrac{1}{n}\,\ln\,(3^n+1)+\dfrac{1}{n}\,\ln\,2

J_n\leq \dfrac{\ln\,3^n-\ln\,(3^n+1)+\ln\,2}{n}

J_n\leq \dfrac{1}{n}\left[\ln\,2+\ln\left(\dfrac{3^n}{3^n+1}\right)\right]

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 16:23

Oui je vois merci voila mon idée

Suite integrale

* Modération > Image très exceptionnellement tolérée *

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 16:26

Désolé pour l'envoi d'image j'ai un peut de difficulté à utiliser les symboles.
Je ne sais pas si vous tolérer

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 16:29

En tout cas, j'ai vu et c'est mieux que ce que j'ai fait (inutile de majorer U_n par \ln\,3)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite integrale 30-05-23 à 16:34

Normalement, on ne tolère pas.
C'est vrai qu'écrire des intégrales quand on n'a pas l'habitude prend beaucoup de temps.
Donc on va tolérer pour cette fois.
Merci de ne pas abuser.
Je surveille

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 16:37

Merci pour toi parce que c'est vous qui m'a donné l'idée j'ai vraiment mis beaucoup de temps .
Je vois mon brouillon et j'ai  constaté que j'ai commencer par faire la primitive puis j'ai arrêté les calculs en croiant que ça ne donne rien.

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 16:42

Et pour 5)d) pouvez vous me donner une idée  et merci

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 17:25

A partir de 5)c) :

\lim\limits_{n\to +\infty} n(e^{U_n}-2)=\ln\,2

et sachant que \lim\limits_{n\to +\infty}U_n=\ln\,2, tu peux poser U_n=\ln\,2+h(n) avec \lim\limits_{n\to +\infty}h(n)=0

Tu peux prouver que :

2n(e^{U_n}-2)=2n(U_n-2) \dfrac{e^{h(n)}-1}{h(n)}

et passer à la limite.

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 17:27

Zut !

n(e^{U_n}-2)=2n(U_n-\ln\,2) \dfrac{e^{h(n)}-1}{h(n)}

Posté par
larrechre : Suite integrale 30-05-23 à 17:35

Bonjour,

Même idée que lake, que je salue , mais en partant de l'identité

e^{U_n}-2= 2(e^{U_n-ln2}-1) , dont on déduit que n(e^{U_n-ln2}-1) tend vers \ln 2., puis un petit DL.

Posté par
larrechre : Suite integrale 30-05-23 à 17:42

Pardon "tend vers \ln\sqrt{2}"...

J'aurais mieux fait de me taire.

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 17:43

Bonjour larrech

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 18:01

Bonjour Sylvieg

Citation :
Je surveille


Big sister ?

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 18:05

Merci bien mais le développement limité n'est pas autorisé au terminal peut on trouver une autre méthode ?

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 18:08

Je crois bien que 17h25 corrigé à 17h27 répond à ta question ...

Posté par
kikoking41re : Suite integrale 30-05-23 à 18:55

Oui oui
C'est pas du tout évident bravo et merci

Posté par
lakere : Suite integrale 30-05-23 à 19:00

De rien kikoking41


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