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Niveau Licence Maths 1e ann
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Suite-Le nombre d'or

Posté par
princesyb
22-11-20 à 19:59

Bonsoir,pouvez vous m'aider à faire la question 4),je n'arrive pas du tout à la faire.
Je voulais utiliser le théorème des valeurs intermédiaire mais on l'a pas encore vu en classe, je sais pas comment faire

1. Résoudre dans R l'équation x^2 − x − 1=0.
La solution positive, notée φ, est appelée « nombre d'or ».
2. Démontrer qu'on a φ =1+ 1/
φ.
On définit une suite (un)n∈N comme suit. On pose u0 = 2 et, pour tout n ∈ N∗,on pose un+1 =1+ 1/un .
3. Montrer que, pour tout n ∈ N∗, on a 3/2 <= un <=2.
4. Montrer que, pour tout n ∈ N∗, on a |un+1 − φ| <= 4/9 |un − φ|. (Utiliser la question 2.)

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 22-11-20 à 20:26

Bonsoir,

Tu as : u_{n+1}-\varphi =1+\dfrac{1}{u_n}-\varphi

\varphi =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; est solution de : x^2 = x + 1\Rightarrow \varphi=1+\dfrac{1}{\varphi}

Peut être que ça peut t'aider.

Posté par
princesyb
re : Suite-Le nombre d'or 22-11-20 à 20:38

J'essaye de comprendre depuis tout à l'heure mais non je vois pas du tout quoi faire

Posté par Profil XZ19re : Suite-Le nombre d'or 22-11-20 à 20:58

C'est à dire que @Razes te  fait comprendre  que la suite  v_n=u_n-\phi
est de la forme    v_{n+1} =f(v_n)   avec  f à découvrir et à exploiter.  

Posté par
princesyb
re : Suite-Le nombre d'or 22-11-20 à 21:39

Je vois toujours pas, je laisse tomber je suis fatigué
Merci quand même

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 07:42

Et si tu réduisais le résultat de cette expression  : u_{n+1}-\varphi =1+\dfrac{1}{u_n}-\varphi

Posté par
princesyb
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 08:55

Bah j'ai essayé et j'ai trouvé ceci mais je sais pas quoi en faire
U_{n+1}-\varphi =1+\frac{1}{Un}+\varphi =2+\frac{1}{Un}+\frac{1}{\varphi }

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 09:01

Vérifie ton calcul.

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 09:01

D'ou as tu sorti ce "+"?

Posté par
princesyb
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 09:35

Ah oui le sige- devant. Du coup il y a pas de 2. Il reste que 1/phi et 1/Un

Posté par
princesyb
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 09:39

(1/Un)-(1/phi)

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 10:27

Continue, tu es en licence, non? Car la il ne me reste plus qu'a te donner la réponse.

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 10:27

Posté par
princesyb
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 10:50

Merci je l'ai enfin fait

Posté par
Razes
re : Suite-Le nombre d'or 23-11-20 à 14:22

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