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Niveau première
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suite numérique

Posté par fanz (invité) 18-02-05 à 15:23

J'ai besoin d'aide pour cet exercice svp
On place chaque année 1000 € sur un compte rémunéré à un taux d'intérêts (composés) annuel de 5%, ainsi :
au bout d'1 an, on disposera de : 1000 x 1,05 + 1000 = 2050 €, au bout de 2 ans, on disposera de : 2050 x 1,05 + 1000 € ,etc...
trouver un moyen de calculer de combien on disposera au bout de 3 ans et au bout de 30 ans sans procéder année par année(arrondir à l'euro près).
merci d'avance pour votre aide.

Posté par tpdm (invité)re : suite numérique 18-02-05 à 19:17

Bonjour.
Il faut commencer par écrire les premiers termes pour voir puis pour trouver la relation de récurrence.
U(0)=1000
U(1)=1.05 x 1000 + 1000
U(2)=1.05 x U(1) + 1000
......................
U(n)=1.05 x U(n-1) + 1000
Il faut maintenant multiplier chaque ligne par une puissance de 1.05 de manière à obtenir d'un côté que   U(n) lorsque l'on fait la somme.
    1.05^n x U(0)= 1.05^n x 1000
1.05^(n-1) x U(1)= 1.05^n x U(0) + 1.05^(n-1) x 1000
............................................
   1.05 x U(n-1) =  1.05^2 x U(n-2) + 1.05 x 1000
            U(n) =  1.05 x U(n-1) + 1000
En additionnant membre à membre on obtient :
U(n) = 1000 + 1.05 x 1000+ 1.05^2 x 1000 + .......  +  1.05^(n-1) x 1000 + 1.05^n x 1000.
donc U(n) = 1000(1 + 1.05 + 1.05^2 + ... +1.05^(n-1)+ 1.05^n ).
Il faut maintenant utiliser une formule du cours pour obtenir après simplification :
U(n) =  20000 x ( 1.05^(n + 1)-1)
Il faut ensuite remplacer pour n= 3 puis 30.




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