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suite numerique

Posté par
allal 01-09-05 à 20:54

salut
on veut etudier la suite numerique suivante y a t il une ideé svp u_n=(1+\frac{1}{n})^npour n\ge 1
cette etude est pour comparer les deux valeurs 100^100 et 101^99

Posté par
Nightmarere : suite numerique 01-09-05 à 20:57

Bonjour

Utilise le moteur de recherche

Posté par
allalsuite numerique 01-09-05 à 21:40

salut Nightmare avez vous une piste et merci d'avance
allal

Posté par
Nightmarere : suite numerique 01-09-05 à 21:46

Il faudrait tenir compte de ma remarque .. cette suite a déja été étudiée, fait une recherche sur le forum

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suite numérique 02-09-05 à 04:51

Bonsoir Nightmare (Modérateur),bonsoir allal;
pour voir la stricte croissance de la suite (u_n)_{n\ge1} on peut aussi étudier la fonction,
f:x\to xln(1+\frac{1}{x}),x>0 on a en effet:
\{{f'(x)=ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1}\\f''(x)=-\frac{1}{x(x+1)^2}<0 et comme \lim_{x\to+\infty}f'(x)=0 on a que f'(x)>0 c'est à dire que f est strictement croissante en particulier on a que:
\{{\forall n\in{\mathbb{N}}^{*}\\f(n)<f(n+1)<\lim_{+\infty}f=1
et donc que:
u_n=e^{f(n)}<e^{f(n+1)}=u_{n+1}<e

Posté par Yalcin (invité)re : suite numerique 02-09-05 à 13:45

ln(100^100)-ln(101^99)=100*ln(100)-99*ln(101)=100*ln(100)-100*ln(101)+ln(101)
=100*(ln(100/101))+ln(101) >0
donc 100^100>101^99

Posté par Yalcin (invité)re : suite numerique 02-09-05 à 13:46

juste pour le fan, 100^100-101^99=
97321966505523241491814658702170761550813922393286135864465147476121681669\
00322843619855840163688654359073612499521223496720277938844720368336142255\
1191583611703189284000613780436304040735965502480099

Posté par
allalre : suite numerique 02-09-05 à 14:42

bonjour merci elhor _ abdelali de votre remarque moi j'essaye la fonction (1+x)^nen posant x=\frac{1}{n}mais le probleme que je n'arrive pas à montrer que :
\(n\\k\)= \frac{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})}{k!}et tout ça pour montrer que u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k+1}{n})+..\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n!})(1- \frac{2}{n})...(1-\frac{n-1}{n})
et on montr que
u_n\leu_{n+1}

Posté par
allalre : suite numerique 02-09-05 à 14:48

bonjour je corrige u_n\le u_{n+1}


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