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Suite numérique

Posté par
princesyb 24-05-18 à 22:08

Bonsoir, j'ai demain un devoir de math et je toujours pas comment résoidre un exercice sur les suites
Par exemple, je n'arrive même pas à démintrer que (an) est une suite géométrique.
Zo=i+2
Zn+1=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)zn
+1-i
Et an=Zn-2

Pouvez vous m'aider svp

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 24-05-18 à 22:15

Bonjour,

déja en écrivant tout ça proprement
c'est incompréhensible
c'est quoi ce "+1-i" qui débarque comme un cheveu sur la soupe sans aucun lien avec le reste ???

en particulier on n'écrit jamais des petits bouts de formule en LaTeX et le reste sans.
on écrit toute la formule en LaTeX (en un seul morceau)

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 22:18

Je vais reprendre l'écriture
Zn+1=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)zn+1-i

Posté par
Yzzre : Suite numérique 24-05-18 à 22:28

Salut,

Et donc, tu proposes quoi ?

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 22:33

an+1=zn+1-2=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)zn-1-i-2=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)zn-1-i

an=Zn-2

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)zn-1-i}{zn-2}
Aprés je suis coincé

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 24-05-18 à 22:38

tu comprends ce que veut dire toute la formule ?? (c'est à dire y compris les indices écrits avec _ (underscore) en LaTeX, le = et le zn+1 du début)
z_{n+1} =\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)z_n+1-i (voir le code pour apprendre)
mais bon, au moins c'était lisible ...

pour monter que a_n est une suite géométrique ou pas :

calculer a_{n+1} = z_{n+1} -2 = \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)z_n+1-i \;\;-2
et remplacer z_n par a_n +2 là dedans
ça donne a_{n+1} en fonction de a_n et la preuve demandée.

Posté par
Yzzre : Suite numérique 24-05-18 à 22:41

Faute de frappe première ligne : un "-1" au lieu d'un "+1".

On a donc : a_{n+1}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)z_n-1-i.

Par ailleurs, an=zn-2  ,  donc zn = a[sub][/sub]n+2 : à remplacer dans la formule précédente.

Posté par
Yzzre : Suite numérique 24-05-18 à 22:41

Salut mathafou.
Je te pensais ailleurs... Je vous laisse.

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 22:42

Je vais essayé pour voir

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 24-05-18 à 22:49

le problème avec ta méthode, princesyb, est le "risque" de diviser par zéro quand on calcule \dfrac{a_{n+1}}[a_n} sans avoir prouvé explicitement que tous les a_n sont non nuls !

(en plus il n'est pas forcément évident de simplifier la fraction obtenue ...)

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 22:49

J'ai essayé mais je trouve rien
Voici ce que je trouve
(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)(a_{n}+2)-1-i=\frac{1}{2}a_{n}+1+\frac{1}{2}ia_{n}+i=a_{n}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)+1+i

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 24-05-18 à 22:54

faudrait peut être éviter d'oublier le "-1-i" de la fin !!

(ps : erreur de Latex dans mon message précédent par oubli de "Aperçu" : \dfrac{a_{n+1}}{a_n} )

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 23:06

J'avsis oublié -1-i
Ça change tout, maintenant j'ai trouvé
q=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i

Merci merci

Cette question est encore plus corcée à mon avis
b)En déduire que pour tout n  appartient à N, Zn=((\frac{\sqrt{2}}{2})^n e^i(\frac{npi}{4} +\frac{pi}{2})+2

Exponentielle???
Ça me fait même peur cette question

Vous pouvez me donner un tout petit indice car je sais même pas où commencer

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 24-05-18 à 23:17

c'est écrire \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i sous forme exponentielle r.e^{i\theta} (voir le cours)

pour en déduire l'expression explicite (en fonction de n, nème terme d'une suite géométrique ) de a_n , et donc de z_n

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 23:19

Je vais essayé

Posté par
princesybre : Suite numérique 24-05-18 à 23:49

Je l'ai transformé sous forme exponentielle et j"ai obtenu
(\frac{\sqrt{2}}{2})e^i\frac{pi}{4}

Aprés j'ai essayé d'appliquer la formule consernant les suites géométriques
an=(\frac{\sqrt{2}}{2})^ne^i\frac{npi}{4}

Zn=(2+i)(\frac{\sqrt{2}}{2})^ne^i(\frac{npi}{4})+2

Mais aprés je ne sais plus trop quoi faire

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 25-05-18 à 00:12


faux
si n = 0 tu obtiens Z_n = (2+i)\times 1 + 2 = 4+i et pas du tout 2+i !!

en effet l'expression de Z_n ne s'obtient pas du tout comme tu le penses comme {\red Z_0} * r^n + 2 !!

a_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i\right) a_n
et a_0 = z_0 - 2 = \red ??
donne
a_n= {\red a_0 }\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i\right)^n
et Z_n = {\red a_n} + 2

et pas du tout ce que tu as calculé

et puis i = e^{i\frac{\pi}{2}} ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 25-05-18 à 00:13

* si n = 0 tu obtiens Z_{\red 0} =...

Posté par
princesybre : Suite numérique 25-05-18 à 00:23

On obtient si n=0  Z0=2+i
a0=2+i-3=i

Ah compris le reste, merci beaucoup pour cette question

Il en reste une dernière
Déterminer l'ensemble des entiers naturels n pourlesquels Pn, le point image zn est sur l'axe des réels

Pn c'est quoi
Quelle formule dois je appliquer

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 25-05-18 à 00:32

Pn le point image de zn alias le point d'affixe zn
il est sur l'axe des abscisses si zn est un nombre réel,
c'est à dire si son argument est nul modulo pi.
donc utiliser la formule précédente pour trouver les valeurs de n

Posté par
princesybre : Suite numérique 25-05-18 à 00:41

Donc si j'ai bien compris je dois résoudre Zn=0 et argZn=0[2pi]

Et auaai esce n doit avoir plusieurs valeurs

Posté par
mathafou Moderateurre : Suite numérique 25-05-18 à 00:56

non pas Zn = 0 !!!
argZn = 0 [pi] (une seule fois pi : argument = 0 ou pi modulo 2pi, c'est 0 modulo pi)

n non seulement "plusieurs valeurs" mais même une infinité ( modulo !!)


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