Niveau terminale

Suite numérique

Posté par
Mathes1 23-12-20 à 21:53

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
On considère la suite numérique (V_n )définie par :
$V_n=\dfrac{n+cos(n)}{n²+1}$
Montrer que la suite V_n est convergente et calculer sa limite
mes réponses
On a -1<cos (n)<1
n-1<cos( n )+n<1+n
$\dfrac{n-1}{n²+1}<V_n<\dfrac{n+1}{n²+1}$
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance pour montrer que la suite est convergente c'est à dire je dois calculer V_n+1-V_n
Et je trouve un terme difficile à savoir est ce qu'il est positif ou négatif

•On a :
$\lim_{x \to +\infty } \dfrac{n+1}{n²+1}=\lim_{x \to +\infty } \dfrac{n}{n²} =\lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{n}=0$
•Et
$\lim_{x \to +\infty } \dfrac{n-1}{n²+1}=\lim_{x \to +\infty } \dfrac{n}{n²}=\lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{n}=0$
D'après le théorème des limites comparées on a $\lim_{x \to +\infty } V_n =0$
Merci beaucoup d'avance

Posté par re : Suite numérique 23-12-20 à 22:02

Bonjour,

Il suffit de factoriser le numérateur et le dénominateur par le plus fort monôme, à savoir $n^2$ :

$V_n=\dfrac{n^2(...)}{n^2(...)}$

Tu auras une forme avec laquelle tu calcules la limite de chaque monôme lorsque $n\to+\infty$

La limite apparaîtra.

Posté par re : Suite numérique 23-12-20 à 22:25

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
J'ai déjà calculer la limite
Mais je bloque en " montrer que la suite est convergente sans calculer la limite "
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par re : Suite numérique 23-12-20 à 22:45

Bonsoir,

Je réponds en l'absence de lyceen :
Pour montrer qu'une suite est convergente sans calculer sa limite,
on peut souvent montrer qu'elle est monotone et bornée dans le sens de sa progression.
Un théorème te permet alors d'affirmer qu'elle est convergente.
Ici la suite "semble" décroissante et bornée inférieurement par 0, à vérifier

Posté par re : Suite numérique 23-12-20 à 22:54

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
J'ai calculé
V_n+1- V_n= $\dfrac{n+cos(n)-n²V_n-V_n}{n²+1}$

Posté par re : Suite numérique 24-12-20 à 12:50

Bonjour,

ça m'étonnerait que cette suite soit monotone.

Il me semble que ta première réponse convient : ta suite est encadrée par 2 suites (fait un peu trop rapidement je trouve) qui ont même limite 0. Donc elle est convergente ....... et sa limite est 0 aussi.

Posté par re : Suite numérique 24-12-20 à 19:17

Bonjour
D'accord merci beaucoup à vous tous
J'ai un erreur concernant V_n+1-V_n
= $\dfrac{n+1+cos(n+1)}{(n+1)²+1}-\dfrac{\left((n+1)²+1 \right)V_n}{\left( (n+1)²+1 )\right)}=\dfrac{-n²V_n+(2n+2)V_n+n+1+cos(n+1)}{n²+2n+1}=-\dfrac{n²V_n-(2n+2)V_n-n-1-cos(n+1)}{n²+2n+1}<0$
Donc la suite est décroissante
Comment trouver s'il vous plaît que V_n ≥m
Car "toute suite décroissante minorée est convergente"
Merci beaucoup d'avance

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