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Suite par reccurence (besoin d aide svp)

Posté par elbahnsi93 (invité) 09-01-05 à 19:26

demontrer [par reccurence que: pr tt entier n, on a: 0²+1²+2²+.....+n²= n(n+1)(2n+1)/6

Posté par
Nightmarere : Suite par reccurence (besoin d aide svp) 09-01-05 à 19:36

Bonjour

Vérifions que la propriété est vrai au rang 1 :

Pour n =0 :
0^{2}+1^{2}+2^{2}+....+n^{2}=0
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=0

Admettons la propriété vrai au rang n , prouvons alors qu'elle est vraie au rang n+1 .

Pour cela développons un peu :
n(n+1)(2n+1)=(n^{2}+n)(2n+1)=2n^{3}+3n^{2}+n

or , nous avons :
\begin{tabular}\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}&=&\frac{2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6}\\&=&\frac{(2n^{3}+3n^{2}+n)+6n^{2}+12n+6}{6}\\&=&\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}+\frac{6(n^{2}+2n+1)}{6}\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n^{2}+2n+1\\&=&\fbox{0^{2}+1^{2}+2^{2}+....+n^{2}+(n+1)^{2}}\end{tabular}

La propriété est donc vrai au rang n+1

Donc par récurrence , la propriété est vraie


Jord


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