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Suite par récurrence

Posté par DakuTenshi (invité) 16-09-05 à 22:09

Là je bloque, je crois que j'ai jamais fait un énoncé aussi compliqué de toute ma vie (à ce point!!), je vous montre:

Le segment [AB] a pour longueur a.
Soit M_1 le milieu de [AB], M_2 le milieu de [BM_1], ... M_n le milieu de [M_{n-2} M_{n-1}].
Démontrer par récurrence que:
AM_n = a + \Bigsum^n_{p=1} (-1)^p \times a \times \frac{1}{2^p}.

J'arrive même pas l'hérédite, aidez moi s'il vous plait ^^

Posté par DakuTenshi (invité)re : Suite par récurrence 16-09-05 à 22:16

Au fait, en faisant l'hérédité je trouve un truc du genre
AM_{n+1} = a + (-1)^{n+1} \times a \times \frac{1}{2^{n+1} + \Bigsum^{}_{p=1} (-1)^p \times a \times \frac{1}{2^p}

Et je voit pas en quoi ça m'avance, je voit pas où je pourrait utiliser l'hypothèse de récurrence, et tout, et tout.

édit Océne : balise  fermée

Posté par nounou_cam (invité)re : Suite par récurrence 16-09-05 à 22:21

bah pour Amn+1 tu peux rentrer le ((-1)^(n+1))*(a)*(1/2^n+1) dans la somme c le terme de rang n+1
et voila la recurrence est HEV !!

aplus

Posté par DakuTenshi (invité)re : Suite par récurrence 17-09-05 à 15:51

Désolé mais là je comprends vraiment pas ce que tu veux dire! :/

Posté par DakuTenshi (invité)re : Suite par récurrence 17-09-05 à 15:59

Quelqu'un d'autre a une idée?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite par récurrence 17-09-05 à 16:14

Fais un dessin en plaçant M_1, M_2, M_3, M_4.

(a) M_{n-2}M_{n-1}=\frac{a}{2^{n-1}}

(b) si n est pair, alors :
AM_n=AM_{n-1}+\frac{1}{2}M_{n-2}M_{n-1}=AM_{n-1}+(-1)^n\frac{a}{2^n}

(c) si n est impair, alors :
AM_n=AM_{n-1}-\frac{1}{2}M_{n-2}M_{n-1}=AM_{n-1}+(-1)^n\frac{a}{2^n}

Donc, finalement, quelle que soit la parité de n :
AM_n=AM_{n-1}+(-1)^n\frac{a}{2^n}

Donc, par une récurrence évidente, il vient :
AM_n=a+\bigsum_{p=1}^n(-1)^p\frac{a}{2^p}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par DakuTenshi (invité)re : Suite par récurrence 17-09-05 à 16:21

Oh... j'ai envie de me frapper quand je vois à quel point c'était simple! Merci Nicolas.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suite par récurrence 17-09-05 à 16:38

Je t'en prie.
Avant de partir bille en tête dans l'exercice, faire un dessin, poser le caryon, prendre du recul.


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