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Suite périodique

Posté par
fire-light16
16-04-13 à 18:39

Bonjour

J'ai commencé un exercice sur les suites périodiques et je ne sais pas comment m'y prendre, d'abord je me suis renseigné sur les "périodes".
Donc j'ai une suite définie par u0>0 et par la relation de récurrence
un+1=1/un-1

Il faut que je trouve la valeur de u0pour que le suite soit périodique de période 2.
Donc par conséquent que un+2=un.
Donc, u0=u2=u4etc....

En tâtonnant et en essayant le chiffre d'or pour u0 j'obtiens une suite de période 1, elle est constante.
Puis j'ai essayé autre chose.
un+2=1/(un-1)   =  ( 1/un-1)/[(1/un-1)-1] = un ?

Je bloque sérieusement pour trouver une période 2 à cette suite, si quelqu'un pouvait m'orienter.
Merci bien .

Posté par
watik
re : Suite périodique 16-04-13 à 19:02

bonjour

c'est peux lisible sans des parenthèses!

ta suite est-elle: u(n+1)=1/((un)-1) ?

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 16-04-13 à 19:30

ma suite s'écrit vraiment comme cela avec les indices:

un+1= 1/un-1

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 16-04-13 à 19:31

un+1= 1/(un-1) Si cela vous facilite la compréhension

Posté par
watik
re : Suite périodique 16-04-13 à 19:38

u(n+2)=1/(-1+u(n+1))=1/(-1+1/(-1+un))=(-1+un)/(-(1+un)+1)=(-1+un)/(-un)=-1+(1/un)

u(n+2)=un ssi -1+(1/un)=un
          ssi -un²=-1+un
          ssi (un)²+un-1=0  ceci qq soit n
en particulier su (u0)²+u0-1=0
Délta=1+4=5 donc u0=(-1+V5)/2 ou u0=(-1-V5)/2
comme u0>0 donc u0=(-1+V5)/2

maintenant reste à montrer que qq soit n : un=(-1+V5)/2

fais le par récurrence
pour l'initialisation c'est OK car u0=(-1+V5)/2
reste à montrer l'héridité que je te laisse faire

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 16-04-13 à 19:57

En prenant u0=(-1+V5)/2
J'observe que :
u1= -2.618
u2= -0.276
u3= -0.783
u4= -0.56
u5= -0.64
u6= -0.609
etc,

Je ne vois aucune période, car u0u2u4
est ce normal ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite périodique 17-04-13 à 01:14

Bonjour,

une petite erreur de signe dans les calculs précédents donne un résultat aberrant.

U_{n+2} = \dfrac{1}{U_{n+1} - 1} = \dfrac{1}{\frac{1}{U_n - 1} - 1} = \dfrac{U_n - 1}{1 - \left(U_n - 1\right)} = \dfrac{U_n - 1}{2 - U_n}

U_{n+2} = U_n \Longleftrightarrow \dfrac{U_n - 1}{2 - U_n} = U_n
soit
U_n - 1 = 2U_n - U_n^2 donc U_n^2  {\red -}  U_n - 1 = 0

et U_n = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

le résultat est qu'il n'y a aucune "période" possible dans une telle suite.
soit tous les termes sont tous égaux à U0 = ou -1/
soit ils sont tous différents et tendent vers -1/
(après quelques oscillations erratiques et éventuellement "passage par l'infini", la racine positive est un point de rejet)

illustration :
Suite périodique
avec U0 un tout petit peu < on fuit ce point et une fois passé négatif on converge vers -1/
en accord avec les résultats numériques obtenus.

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 17-04-13 à 10:10

Merci de m'avoir répondu, c'est étrange car j'avais déjà essayé le chiffre d'or ( négativement et positivement) sans jamais tomber sur la bonne période. La consigne noir sur blanc disait bien de trouver une valeur u0 pour qu'il y ait une période égale à 2. Or après les calculs cela est impossible ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite périodique 17-04-13 à 10:53

avec cette fonction là oui.

tu trouves une "période" de ce que tu veux pour une suite constante !
si tu résous Un+2 = Un tu trouves et -1/
mais en fait ce n'est pas une "période de 2" car on a avec le même U0 : Un = Uk = U0 quels que soient n et k. (ce que signalais watik, la valeur numérique était fausse mais la propriété juste)

Citation :
maintenant reste à montrer que qq soit n : un=(-1+V5)/2


En plus comme je l'ai indiqué est un point de répulsion, il suffit d'avoir une valeur (numérique) un tout petit peu différente de pour que la suite s'en écarte de plus en plus, jusqu'à tomber dans le bassin d'attraction de -1/ où elle converge vers cette valeur.

une simulation numérique en partant de "à la précision de la machine" :
U[0] = 1.618033988749895 calculé par (sqrt(5)+1)/2
U[1] = 1.6180339887498947
U[2] = 1.6180339887498953
U[3] = 1.6180339887498936
U[4] = 1.6180339887498982
U[5] = 1.618033988749886
U[6] = 1.618033988749918
U[7] = 1.6180339887498343
U[8] = 1.6180339887500534
U[9] = 1.6180339887494797
U[10] = 1.6180339887509818
...
U[30] = 1.6182827396095774
...
U[37] = 1.4263359265949953 ça commence à osciller sauvagement !
U[38] = 2.345568218908199
U[39] = 0.7431804541366211 et pouf, ça y est on est de l'autre côté (< 1)
U[40] = -3.8937846285732993
U[41] = -0.20434082737546486
U[42] = -0.8303297349631745
...
U[50] = -0.6181218434857474
...
U[60] = -0.6180339945574763
...
U[70] = -0.6180339887502787
...
U[79] = -0.6180339887498948
U[80] = -0.6180339887498948 = -1/
et on y reste "à la précision de la machine"

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite périodique 17-04-13 à 15:13

On a beau "bidouiller" ta récurrence dans tous les sens (1/Un) - 1 etc etc rien n'y fait.

Si tu veux observer une suite périodique je te conseille
Un+1 = 2 - Un²
(en fait cette suite est même cahotique)
illustration de la période 2 :
Suite périodique
pour U0 = , la suite oscille entre les deux valeurs et -1/ = 1- (points I et J)
mais là aussi c'est "instable" et une simulation numérique va finir par diverger
en fait tous les points sont instables sur cette suite (conséquence de sa "cahoticité")
la trajectoire commence ici à diverger au bout d'une cinquantaine de tours
(le trait s'épaissit et se scinde même)

Les "cycles de période 1" (les points fixes) sont U = -2 et U = 1

On peut de même obtenir une période 3 avec la même suite
mais les valeurs sont pas sympas (solutions d'équations de degré 3)
Suite périodique
on voit les deux cycles de période 3, le rouge et le mauve.

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 17-04-13 à 21:00

Merci de m'avoir répondu, vous vous êtes donné du mal pour m'expliquer.
Je ne peux pas me permettre d'utiliser une autre suite que un+1=1/un-1.Même si elle n'offre pas quelque soit u0 une période de 2. Au mieux avec le chiffre d'or qui vaut (1-V5)/2 elle devient "constante" je ne sais pas vraiment comment on peut qualifier cette suite avec son instabilité.

Suite périodique
un+1 = 1/un- est bien représentée par le courbe bleue ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite périodique 17-04-13 à 21:38

la "courbe bleue" est une représentation graphique de l'évolution de la suite
la suite étant réellement représentée par les abscisses des extrémités des segments de cette ligne qui sont situées sur l'hyperbole
y = 1/(x-1)
(intersection avec l'axe des abscisses des droites verticales de la ligne bleue)

avec le nombre d'or (pas le chiffre, chiffre c'est les symboles "0", "1" "2" ... "9" qui servent à écrire des nombres dans le système décimal, ne pas confondre nombre (number) et chiffre (digit)

le nombre d'or n'est pas (1-V5)/2 mais = (1\red +V5)/2
(1-V5)/2 = 1 - (1+V5)/2 = 1 - = -1/
et les deux sont des points fixes mathématiquement parlant
que "numériquement" seul l'un des deux soit "stable" n'a rien à faire ici.
"Mathématiquement" la valeur exacte du nombre d'or c'est (1+V5)/2, pas 1.6180339887498948482... ou quelle que soit la précision du calcul
le nombre d'or est une valeur exacte (avec V5 dedans, nombre irrationel, mais exact) et cette valeur exacte est tout aussi fixe que l'autre

pour ton exo proprement dit :
il n'existe aucun point de période 2,
en les cherchant (en résolvant Un+2 = Un) on tombe en fait sur les deux points fixes (qui satisfont à Un+1 = Un)
c'est tout ce que tu as à calculer / démontrer / rédiger.

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 18-04-13 à 13:27

Autre chose, comment exprimer u2 en fonction de u1 et en fonction de u0 ?
L'équation u2=u0 est celle que vous avez écrit au dessus ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite périodique 18-04-13 à 13:43

de façon générale pour une suite définie par Un+1 = f(Un), on a
les points fixes sont obtenus en résolvant x = f(x) (Un+1 = f(Un) = Un en posant x = Un)

on a Un+2 = f(Un+1) = f(f(Un))
les points de période 2 sont obtenus en résolvant x = f(f(x))
Un+2 = f(f(Un)) = Un, en posant Un = x)
ce n'est pas juste U0, U1, U2 que l'on doit considérer mais Un, Un+1 et Un+2 pour n quelconque

ici f(x) c'est 1/(x-1)
f(f(x)) c'est donc 1/(1/(x-1) - 1) etc ...
x = \dfrac{1}{\frac{1}{x-1} - 1}

et il faut éliminer des points trouvés "de période 2" ceux qui sont de période 1 (les points fixes)

si on cherchait par exemple les points de période 4, il faudrait éliminer les points de période 1 et 2 (tous les diviseurs de 4)

Posté par
fire-light16
re : Suite périodique 18-04-13 à 14:19

D'accord, c'est beaucoup plus claire, je vous remercie d'avoir pris la peine de bien m'expliquer et d'écrire correctement, c'est vraiment gentil de votre part de m'avoir orientée dans le raisonnement
Passez une bonne journée



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