bonjour

c'est peux lisible sans des parenthèses!

ta suite est-elle: u(n+1)=1/((un)-1) ?

ma suite s'écrit vraiment comme cela avec les indices:

u_n+1= 1/u_n-1

u_n+1= 1/(u_n-1) Si cela vous facilite la compréhension

u(n+2)=1/(-1+u(n+1))=1/(-1+1/(-1+un))=(-1+un)/(-(1+un)+1)=(-1+un)/(-un)=-1+(1/un)

u(n+2)=un ssi -1+(1/un)=un
          ssi -un²=-1+un
          ssi (un)²+un-1=0  ceci qq soit n
en particulier su (u0)²+u0-1=0
Délta=1+4=5 donc u0=(-1+V5)/2 ou u0=(-1-V5)/2
comme u0>0 donc u0=(-1+V5)/2

maintenant reste à montrer que qq soit n : un=(-1+V5)/2

fais le par récurrence
pour l'initialisation c'est OK car u0=(-1+V5)/2
reste à montrer l'héridité que je te laisse faire

En prenant u₀=(-1+V5)/2
J'observe que :
u₁= -2.618
u₂= -0.276
u₃= -0.783
u₄= -0.56
u₅= -0.64
u₆= -0.609
etc,

Je ne vois aucune période, car u₀u₂u₄
est ce normal ?

Bonjour,

une petite erreur de signe dans les calculs précédents donne un résultat aberrant.




soit
donc

et

le résultat est qu'il n'y a aucune "période" possible dans une telle suite.
soit tous les termes sont tous égaux à U₀ = ou -1/
soit ils sont tous différents et tendent vers -1/
(après quelques oscillations erratiques et éventuellement "passage par l'infini", la racine positive est un point de rejet)

illustration :

avec U₀ un tout petit peu < on fuit ce point et une fois passé négatif on converge vers -1/
en accord avec les résultats numériques obtenus.

Merci de m'avoir répondu, c'est étrange car j'avais déjà essayé le chiffre d'or ( négativement et positivement) sans jamais tomber sur la bonne période. La consigne noir sur blanc disait bien de trouver une valeur u₀ pour qu'il y ait une période égale à 2. Or après les calculs cela est impossible ?

avec cette fonction là oui.

tu trouves une "période" de ce que tu veux pour une suite constante !
si tu résous U_n+2 = U_n tu trouves et -1/
mais en fait ce n'est pas une "période de 2" car on a avec le même U₀ : U_n = U_k = U₀ quels que soient n et k. (ce que signalais watik, la valeur numérique était fausse mais la propriété juste)

On a beau "bidouiller" ta récurrence dans tous les sens (1/Un) - 1 etc etc rien n'y fait.

Si tu veux observer une suite périodique je te conseille
U_n+1 = 2 - U_n²
(en fait cette suite est même cahotique)
illustration de la période 2 :

pour U₀ = , la suite oscille entre les deux valeurs et -1/ = 1- (points I et J)
mais là aussi c'est "instable" et une simulation numérique va finir par diverger
en fait tous les points sont instables sur cette suite (conséquence de sa "cahoticité")
la trajectoire commence ici à diverger au bout d'une cinquantaine de tours
(le trait s'épaissit et se scinde même)

Les "cycles de période 1" (les points fixes) sont U = -2 et U = 1

On peut de même obtenir une période 3 avec la même suite
mais les valeurs sont pas sympas (solutions d'équations de degré 3)

on voit les deux cycles de période 3, le rouge et le mauve.

Merci de m'avoir répondu, vous vous êtes donné du mal pour m'expliquer.
Je ne peux pas me permettre d'utiliser une autre suite que u_n+1=1/u_n-1.Même si elle n'offre pas quelque soit u₀ une période de 2. Au mieux avec le chiffre d'or qui vaut (1-V5)/2 elle devient "constante" je ne sais pas vraiment comment on peut qualifier cette suite avec son instabilité.


u_n+1 = 1/u_n- est bien représentée par le courbe bleue ?

la "courbe bleue" est une représentation graphique de l'évolution de la suite
la suite étant réellement représentée par les abscisses des extrémités des segments de cette ligne qui sont situées sur l'hyperbole
y = 1/(x-1)
(intersection avec l'axe des abscisses des droites verticales de la ligne bleue)

avec le nombre d'or (pas le chiffre, chiffre c'est les symboles "0", "1" "2" ... "9" qui servent à écrire des nombres dans le système décimal, ne pas confondre nombre (number) et chiffre (digit)

le nombre d'or n'est pas (1-V5)/2 mais = (1V5)/2
(1-V5)/2 = 1 - (1+V5)/2 = 1 - = -1/
et les deux sont des points fixes mathématiquement parlant
que "numériquement" seul l'un des deux soit "stable" n'a rien à faire ici.
"Mathématiquement" la valeur exacte du nombre d'or c'est (1+V5)/2, pas 1.6180339887498948482... ou quelle que soit la précision du calcul
le nombre d'or est une valeur exacte (avec V5 dedans, nombre irrationel, mais exact) et cette valeur exacte est tout aussi fixe que l'autre

pour ton exo proprement dit :
il n'existe aucun point de période 2,
en les cherchant (en résolvant U_n+2 = U_n) on tombe en fait sur les deux points fixes (qui satisfont à U_n+1 = U_n)
c'est tout ce que tu as à calculer / démontrer / rédiger.

Autre chose, comment exprimer u₂ en fonction de u₁ et en fonction de u₀ ?
L'équation u₂=u₀ est celle que vous avez écrit au dessus ?

de façon générale pour une suite définie par U_n+1 = f(U_n), on a
les points fixes sont obtenus en résolvant x = f(x) (U_n+1 = f(U_n) = U_n en posant x = U_n)

on a U_n+2 = f(U_n+1) = f(f(U_n))
les points de période 2 sont obtenus en résolvant x = f(f(x))
U_n+2 = f(f(U_n)) = U_n, en posant U_n = x)
ce n'est pas juste U₀, U₁, U₂ que l'on doit considérer mais U_n, U_n+1 et U_n+2 pour n quelconque

ici f(x) c'est 1/(x-1)
f(f(x)) c'est donc 1/(1/(x-1) - 1) etc ...


et il faut éliminer des points trouvés "de période 2" ceux qui sont de période 1 (les points fixes)

si on cherchait par exemple les points de période 4, il faudrait éliminer les points de période 1 et 2 (tous les diviseurs de 4)

D'accord, c'est beaucoup plus claire, je vous remercie d'avoir pris la peine de bien m'expliquer et d'écrire correctement, c'est vraiment gentil de votre part de m'avoir orientée dans le raisonnement
Passez une bonne journée