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Suite périodique

Posté par
Robertdu77
21-06-20 à 12:47

Bonjour j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :
Soit la suite (un) définie par son premier terme u0 *pas égal* à 1 et pour tout entier naturel n , un+1= un+1/un-1.
On admet que tous les termes de la suite sont différents de 1.

[i]Questions:  

1) Calculez les quartes premiers termes de la suite quand u0=0. Qu'observe-t-on ?
2)Même question quand u0=2
3) Quelle conjecture peut-on faire ?
4) Démontrer cette conjecture

Mes réponses :
1) Je trouve *u1= -1
*u2= 0
*u3=-1
*u4= 0

2) Je trouve *u1= 3
*u2=2
*u3=3
u4=2

3) On peut faire la conjecture suivante : (un) est une suite périodique avec la répétition de 2 valeurs  quelque soit la valeur de n.

4) Donc  a)un= un+1
                     b)un+1= un+3

a) On sait que un+1= un+1/un-1 , donc un= un-1+1/un-1-1.

Donc
un+2 = un+1+1/un+1-1 ....  Je suis bloqué à cette partie du calcul, je ne sais pas vraiment ce qu'il faut faire pour prouver la conjecture.....

Merci si vous m'aidez !

Posté par
Leile
re : Suite périodique 21-06-20 à 13:21

Bonjour,

quand tu écris "4) Donc  a)un= un+1
                     b)un+1= un+3 "        tu te trompes, ça amène à   Un =  Un+3, c'est faux.

ta conjecture est correcte : la suite prend deux valeurs alternativement  :
  Un+2 = Un

4)
Un+2 = (Un+1  +  1) / (Un+1  -  1)  (avec les parenthèses  !!!)
remplace Un+1 par son expression en fonction de Un (cf énoncé), et prouve que tu retrouve Un ..

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 21-06-20 à 13:27

Bonjour à vous deux
Robertdu77, prends le temps de lire ceci

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 21-06-20 à 22:07

Bonsoir merci pour votre aide (à vous deux), je déduis donc qu?il faut démontrer Un= Un+2 et Un+1= Un+3, voici ce que j?ai fait (Avec ma propre écriture pour mieux comprendre):
Je bloque à la fin de mon calcul car je pense que celui-ci est faux...

Merci si vous m?aidez de nouveau

Suite périodique

malou edit > * image exceptionnellement autorisée*

Posté par
Leile
re : Suite périodique 21-06-20 à 22:30

seules les photos de figures sont acceptées !

pour la suite, ne scanne pas tes réponses , stp.


"je déduis donc qu?il faut démontrer Un= Un+2 et Un+1= Un+3,

démontrer que Un+2= Un  suffit
(pour passer de n à n+2, tu ajoutes 2
pour passer de n+1  à n+3, tu ajoutes 2 aussi..).

donc

U_{n+2} = \frac{U_{n+1}   + 1}{U_{n+1}   - 1}


  U_{n+2} =\dfrac{\frac{U_{n}  + 1}{U_{n}  - 1} +1}{\frac{U_{n}   + 1}{U_{n}   - 1} -1}

vas y, continue !  

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 21-06-20 à 22:37

salut
***message modéré***

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 22-06-20 à 09:46

reBonjour à tous
il me semble que le sujet était pris en main, et que pour offrir une 2e piste, cela pouvait attendre
au collège et au lycée, savoir emboîter le pas au demandeur dans une démarche qu'il a choisie est souhaitable dans un premier temps
Pour un élève, savoir se frotter aux calculs, même insipides, est une bonne chose, ne serait-ce que pour apprécier ultérieurement une méthode plus courte et plus astucieuse

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 22-06-20 à 09:55

il me semble qu'une partie de mon msg portait justement un commentaire sur son cheminement et disait quelles erreurs étaient commises ... mais cela a disparu ...

enfin quand j'ai posté il n'y avait pas le msg de Leile et mon msg suivait le msg avec la photo de Robertdu77 ...

PS : il y aurait eu le msg de Leile je ne serais pas intervenu ...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 22-06-20 à 10:09

carpediem @ 22-06-2020 à 09:55


PS : il y aurait eu le msg de Leile je ne serais pas intervenu ...


oK...je souhaite vraiment que ceci redevienne la règle, cela est beaucoup plus agréable pour tout le monde

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 22-06-20 à 10:30

Bonjour  merci pour votre aide, cependant je vais vous avouer que je ne sais pas  comment simplifier Un+2 = (Un+1 : Un-1 +1)/(Un+1: Un-1-1) , j'avais essayé lors de mon précédent poste mais c'était faux...
Sinon la méthode de carpediem ne me dérangeais pas, ça me permettrait de m'améliorer également.

Merci si vous me donner un indice

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 22-06-20 à 10:59

re
en l'absence de Leile
ta gestion des parenthèses est complètement loufoque, on doit savoir écrire des expressions avec des parenthèses !
reprends la 2e forme écrite par Leile, et multiplie haut et bas par U_n-1 qui est le dénominateur commun visible
cela tient en 2 égalités !

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 22-06-20 à 11:48

Bonjour merci pour votre réponse et désolé pour les parenthèses. Voici ce que j'ai trouvé quand vous me dite de multiplier le haut et le bas par Un-1:
(Un+1+1)/(Un-1-1) = (Un+2)/(Un-2)...
Je pense que c'est faux merci si vous pouvez me détailler le raisonnement avec des calculs .

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 22-06-20 à 11:51

houlla...

le numérateur de cette grande fraction est

\dfrac{U_{n}  + 1}{U_{n}  - 1} +1

si tu multiplies toute cette expression par U_{n}  - 1

tu peux me dire ce que tu trouves ?

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 22-06-20 à 11:52

oui il faut absolument travailler la manipulation des parenthèses et poursuivre d'abord avec ta méthode car c'est un bon exercice pour travailler les opérations (addition et multiplication) sur les fractions ... en n'oubliant pas la règle fondamentale des fractions : \dfrac a b = \dfrac {ka} {kb} ...

je te suggère de reprendre le calcul en entier proprement comme on le vois sur ta feuille et surtout en plaçant les signes opératoires et d'égalité proprement sur une même ligne (virtuelle) et si possible ne latex pour une meilleure lisibilité !!!

sans latex il faudra être attentif aux parenthèses ...

ensuite on pourra revoir ma méthode ...

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 22-06-20 à 12:18

Euh.. Je trouve (Un+1* Un-1)/(Un-1*Un-1) +1 mais je ne sais pas comment développer ceci ... ( Le *Un*me gêne beaucoup, car si je fais Un* Un ça fait Un2 et ça me parait loufoque...
Merci si vous m'aidez de nouveau

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 22-06-20 à 12:26

\left(\dfrac{U_{n}  + 1}{U_{n}  - 1} +1\right)\times(U_{n}  - 1)=

comme si je te disais de calculer

\left(\dfrac a b + 1\right)\times b

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 22-06-20 à 12:37

Ah d'accord, je trouve Un +1 + Un -1 = 2Un.... C'est correct ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 22-06-20 à 12:47

oui, pour le numérateur
et maintenant tu peux gérer toute ta faction en multipliant donc haut et bas simultanément par (U_{n}  - 1)

edit > Leile, je te repasse la main !

Posté par
Leile
re : Suite périodique 22-06-20 à 13:06

ccmalou,   merci  !

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 22-06-20 à 14:08

Bonjour pour le dénominateur je trouve  Un+1 -Un+1=  2.
Donc Un+2=(2Un)/(2)= Un.

Pour prouvez  Un+1= Un+3, il faut faire la même chose ?

Merci

Posté par
Leile
re : Suite périodique 22-06-20 à 14:12

tu as donc montré que  Un+2 = Un



ensuite, relis mon message d'hier à 22:30  

"je déduis donc qu?il faut démontrer Un= Un+2 et Un+1= Un+3,

démontrer que Un+2= Un  suffit
(pour passer de n à n+2, tu ajoutes 2
pour passer de n+1  à n+3, tu ajoutes 2 aussi..).

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 22-06-20 à 15:32

Donc cela suffit ^^ .
Par contre je veux bien que carpediem explique sa méthode, bien sûr si il a l'envie

Merci pour tout.

Posté par
Leile
re : Suite périodique 22-06-20 à 15:39

je t'en prie.
Une astuce  : quand tu as un calcul à faire avec des grandes fractions, prends bien la place sur ta feuille pour que ce soit bien clair, essaie de traiter séparemment le numérateur et le dénominateur, comme te l'a montré malou. Et si la variable te gêne (Un par exemple), remplace la par x (ou autre chose), pour une écriture et une lecture plus aisée.

Je suis sûre que Carpediem reviendra te montrer sa démarche.
Bonne journée

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 22-06-20 à 15:56

avant de réécrire ce que je proposais revenir un peu sur ton travail :

il est important de travailler avec rigueur dans l'écriture des expressions comme on te l'a déjà dit ...

ensuite il est tout autant important de reconnaitre des formes génériques (par exemple cela te sera utile dans le calcul de primitives en reconnaissant une form(ul)e de dérivées

ici ton terme u_{n + 2} est de la forme \dfrac {\dfrac a d - 1} {\dfrac a d + 1}

donc en appliquant a règle fondamentale des fractions en multipliant par 1 = \dfrac d d tu as immédiatement u_{n + 2} = \dfrac {a - d} {a + d} = \dfrac {2u_n} 2 = u_n en très peu de calculs ...

pour en revenir à ce que j'avais écrit : u_{n + 1} = \dfrac {u_n + 1} {u_n - 1} = 1 + \dfrac 2 {u_n - 1} donc on en déduit que u_{n + 1} - 1 = \dfrac 2 {u_ n- 1} et dont en déduit à nouveau immédiatement que u_{n + 2} - 1 = u_n - 1 \iff u_{n + 2} = u_n

je te laisse réfléchir sérieusement à cela et ensuite si tu as des questions Leile ou moi te répondront ...

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 23-06-20 à 13:02

Bonjour merci de m'avoir donné votre méthode et désolé de répondre que maintenant

1)Ce que j'ai compris  de « avant de réécrire » jusqu'à« en très peu de calculs.... »

En remplaçant les inconnues a et d je trouve logiquement
un+2= (un+1: un-1+1)/(un+1: un-1-1)  désolé je galère toujours avec les parenthèses... Sinon je comprends pas pourquoi vous mettez le ‘'-1 ‘'en haut et le ‘'+1' en bas, pour moi c'est l'inverse comme vous pouvez le voir ....

On applique ensuite comme vous dites la règle fondamentale des fractions en multipliant par 1=(un+1)/(un-1) où on a immédiatement un+2 =(un+1+ un-1)/(un+1 - un-1)

Ensuite dans cette partie je suppose que vous additionnez les termes d'indice n (ou les termes de rang n) et ‘'Un'' où:
* +1 + (-1) = 0 et un + un= 2un pour le numérateur
*+1-(-1)=2 et un- un = 0 pour le dénominateur .

On se retrouve donc avec 2un/2 = un

2) Ce que j'ai compris de  « pour en revenir » à la fin

Vous avez donc écrit au début la ‘'valeur de un+1'' donné par l'énoncé où un+1 = (un+1)/(un-1).

Et c'est là que je bloque . Pourquoi un+1 = 1 + (2)/(un-1). Comment vous avez trouvé le 1 et le 2 du numérateur ?

Merci si vous avez lu ce long message et que vous me répondez

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 23-06-20 à 13:53

2/ réduis au même dénominateur ... en faisant attention : le - 1 n'est pas en indice ...

tu fais d'ailleurs les mêmes mélanges en 1/

a = u_n + 1 et d = u_n - 1 ...

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 23-06-20 à 15:01

Bonjour merci pour votre réponse.
1) J'ai donc refait le développement en corrigeant mon erreur d'indice.
2) Malgré votre explication je ne comprends pas toujours d'où vient le 2 et le 1 dans un+1 = 1+ (2)/(un -1) je n'arrive à imaginer ce que vous dîtes par « réduire au même dénominateur  »...
Si vous avez le courage de me faire une démonstration je vous remercie.

Bonne journée

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 23-06-20 à 15:07

réduis la somme du second membre au même dénominateur ... additionner un nombre et une fraction ...

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 23-06-20 à 17:54

Merci mais honnêtement je ne comprends toujours pas ce 2. Je vais rester sur la 1ère méthode.
Bonne fin de  journée

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 23-06-20 à 18:03

Bonjour

jecrois que ce que tu ne comprends pas, c'est que \dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{x-1+2}{x-1} = \dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1} (avec x = u_n, c'est plus vite écrit)

Posté par
Leile
re : Suite périodique 23-06-20 à 18:04

en l'absence de Carpediem :

\dfrac{(a+1)}{(a-1)} = \dfrac{(a - 1 + 1 +1)}{(a-1)} = \dfrac{(a-1+2)}{(a-1)} = \dfrac{(a-1)}{(a-1)} + \dfrac{2}{(a-1)}

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 23-06-20 à 18:06

sinon, personne me semble-t-il ne t'a encore fait remarquer que ton énoncé est faux :

Robertdu77 @ 21-06-2020 à 12:47

Bonjour j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :
[i]Soit la suite (un) définie par son premier terme u0 *pas égal* à 1 et pour tout entier naturel n , un+1= un+1/un-1.
On admet que tous les termes de la suite sont différents de 1.


ce que tu as écrit c'est u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}-1

et si c'était vraiment ça, on se ficherait bien de savoir que tous les termes sont différents de 1, on préférerait savoir s'ils ne risquent pas de valoir 0 ...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 23-06-20 à 18:14

si si...tout au début...

malou @ 21-06-2020 à 13:27

Bonjour à vous deux
Robertdu77, prends le temps de lire ceci
attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 23-06-20 à 18:23

j'avais vu, mais comme tu ne lui avais pas mis le nez sur ce qui n'allait pas, je me demande s'il a vraiment pris le temps de lire le lien, vu toutes les autres erreurs de parenthèses qu'il a faites ensuite

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 23-06-20 à 18:53

je l'avais remarqué dans mon msg de 22h37 :

1/ les pb de parenthèses

2/ que j'ai compris ce qu'était la bonne formule qu'au 3e ou 4e échange (l'image) ... mais je m'étais gardé d'intervenir auparavant vu que je ne comprenais pas et qu'il y avait Leile ... et il me semblait que là je devais intervenir pour corriger le tir ... et proposer une éventuelle autre méthode qui pouvait attendre bien sûr ...

et dans l'autre sens que lafol je te demandais de réduire (au même dénominateur) 1 + \dfrac 2 {x - 1 } (avec x = u_n)

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 24-06-20 à 10:33

Bonjour, merci à tous , j'ai enfin compris cette partie du calcul donc :
un+1= (un+1)/(un-1) =( un-1+2)/(un-1 )= (un-1)/(un-1) + (2)/(un-1) = 1 + (2)/(un-1).

•Ensuite on passe le 1 de l'autre côté ce qui nous donne un+1 -1 = (2)/(un-1) mais ensuite je ne comprends pas...

Comment on passe de (un+1-1 )= (2)/(un-1) à un+2-1=un-1 ? , comment on élimine le numérateur (2) ?

Si vous pouvez faire un développement comme pour mon précédent bloquage je vous remercie.

Bonne journée

Posté par
malou Webmaster
re : Suite périodique 24-06-20 à 11:15

re

tu pars de un+2-1

tu l'écris en fonction de un+1 -1 que lui-même tu écris en fonction de un-1

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 24-06-20 à 12:42

Voici ce que je comprends.

a) tu pars de un+2-1,tu l'écris en fonction de un+1-1:

Donc cela veut dire que un+2-1 = (2)/(un+1-1)

que lui-même tu écris en fonction de un-1:

Donc cela veut dire que un+1 -1= (2)/(2un-1)

Merci si vous confirmez car je suis pas sûr...

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 24-06-20 à 12:45

Erreur le 2 n'existe pas dans la 2ème proposition donc
un+1-1 =(2)/(un-1)

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 24-06-20 à 13:01

ben tu remplaces dans la première ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 24-06-20 à 19:11

Robertdu77 @ 24-06-2020 à 12:45

Erreur le 2 n'existe pas dans la 2ème proposition donc
un+1-1 =(2)/(un-1)
tu inverses tout : 1/(un+1-1) =(un-1)/2

Puis tu multiplies des deux côtés du = par 2....

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 24-06-20 à 21:52

Bonsoir merci pour votre réponse, en effet je suis perdu...
Je reviens au point de départ car je n'arrive toujours pas à comprendre clairement  la logique pour passer  de
un+1-1= (2)/(un-1) à un+2-1 = un-1 dans la fin du calcul de carpediem .
Je vous rappel ce qui me bloque:
* Comment on élimine le numérateur 2?
*Pourquoi on passe de un+1-1  à un+2-1 pour les membres de gauche  ?

Malheureusement la seule façon pour que je comprends et de me détailler tous les petits détails avec des couleurs différentes  car je n'ai pas une grande logique... Désolé d'abuser .

Bonne soirée.

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 24-06-20 à 22:16

tu commences par remplacer n par n+1 dans u_{{\red n}+1}-1 = \dfrac{2}{u_{\red n} -1}
 \\
tu arrives à u_{{\red n+1}+1}-1 = \dfrac{2}{u_{\red n+1} -1}
 \\
autrement dit u_{n+2}-1 = {\blue \dfrac{2}{\blue u_{ n+1} -1}}
 \\

ensuite tu te souviens que tu es parti de u_{{ n}+1}-1 = \dfrac{2}{u_{ n} -1}, qui équivaut à \dfrac{1}{u_{n+1}-1} = \dfrac{u_n-1}{2} (en passant aux inverses)
ou encore à {\blue \dfrac{2}{u_{n+1}-1} }= u_n-1 (en multipliant tout le monde par 2)

il ne te reste qu'à raccrocher les wagons bleus ...

Posté par
Robertdu77
re : Suite périodique 25-06-20 à 12:28

Bonjour merci beaucoup pour votre réponse, je pense enfin avoir compris.^^ Pour être sûr j'ai appliqué cette méthode à un+1= un+3.

étape 1 (*espacer* la fonction avec 1)

On sait d'après l'énoncé que un+1 = (un+1)/(un-1), donc on a un+2 =
(un+1+1)/(un+1-1)


Où un+2= (un+1+1)/(un+1-1) = (un+1-1+2)/(un+1-1) = (un+1-1)/(un+1-1)+ (2)/(un+1-1) = 1 + (2)/(un+1-1)

étape 2 (Mettre le 1 vers le membre de gauche)

*Donc un+2 = 1 + (2)/(un+1-1)

*Donc on a  un+2-1= (2)/(un+1-1)

étape 3 (1ère équation avec n par n+1)
On remplace donc ensuite n par n+1 dans un+2-1 = (2)/(un+1-1)
On  a donc un+1+2-1 = (2)/(un+1+1 -1)

En simplifiant on a un+3-1 = (2)/(un+2-1)

étape 4 (2ème équation avec la propriété des inverses)

On se souvient qu'on est partie de un+2-1 =(2)/(un+1-1)
*ce qui est équivalent avec les inverses à (1)/(un+2-1) =( un+1-1)/(2)
*et en multipliant par 2 les deux membres on a:
(1)/(un+2-1) *2=( un+1-1)/(2) *2=  (2)/(un+2-1)= un+1-1

étape 5 (Rassembler les égalités identiques et simplifier pour la démonstration)

On sait que un+3-1  = (2)/(un+2-1)
Mais on sait également que (2)/(un+2-1) = un+1-1

Alors on peut dire que un+3-1 = un+1-1 .
Et en enlevant (-1) dans un+3-1= un+1-1 on un+3= un+1

Merci pour tout, bonne journée.

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 25-06-20 à 14:26

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 25-06-20 à 15:25

c'est exact mais c'est bien dommage que tu aies besoin des rang n + 3 et n + 1 alors que les rang n + 2 et n suffisent ...

et tout cela reste valable avec les rangs n - 10 000 et n - 10 002

u_{n + 1} = \dfrac {u_n - 1}{u_n + 1} = 1 + \dfrac 2 {u_n - 1} \iff u_{n + 1} - 1 = \dfrac 2 {u_n - 1}
 \\ 
 \\ u_{n + 2} - 1 = \dfrac 2 {u_{n + 1} - 1} = \dfrac 2 {\dfrac 2 {u_n - 1}} = u_n - 1 \iff u_{n + 2} = u_n

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite périodique 25-06-20 à 15:45

Bonjour,
Je trouve un peu redondant toutes ces étapes

Citation :
démontrer que Un+2= Un suffit
Écrit par Leile le 21 à 22h30 et répété le 22 à 14h12.
En effet, si \; un+2 = un \; pour tout n de , il suffit de remplacer \; n \; par \; n+1 \; pour obtenir \; un+3 = un+1 .

Pour utiliser la méthode de carpediem :
Étape 1
Démontrer que \; un+1 -1 = 2/(un-1) \; pour tout n de .
Étape 2
Remplacer n par n+1 dans l'égalité ci-dessus donne directement, sans aucun calcul, cette égalité :
un+2 -1 = 2/(un+1-1) .
Étape 3
Remplacer \; un+1 -1 par 2/(un-1) \; dans l'égalité de l'étape 2
On obtient \; un+2 = un .

Remarque : On peut aussi utiliser la suite auxiliaire (vn) définie par \; vn = un - 1 .
On a alors \; vn+1 = 2/vn .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite périodique 25-06-20 à 15:47

Plus de 20 minutes pour taper mon message
Je n'avais donc pas vu le tien carpediem.

Posté par
carpediem
re : Suite périodique 25-06-20 à 15:51

oui je m'en suis douté ...

entre la lecture des msg, les temps de connexion et autres digressions on se retrouve dans ce genre de situation : il arrive un msg entre temps au moment de poster ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Suite périodique 25-06-20 à 16:43

je crois qu'il n'a fait la preuve entre n+3 et n+1 que pour s'assurer qu'il avait bien pigé les étapes pour celle entre n+2 et n, non ?



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