Bonjour ! Pouvez vous m'aider sur un exo trop compliqué...
La suite (Un) est definie par :U0 = 1/3 et Un+1 = (Un)^1/3 exp(-1/3)
Montrer par recurrence que Un appartient à [1/3 ; 1]
Je ne vois vraiment pas par ou commencer sinon de déduire de 1/3 < Un < 1 les égalité pour Un^1/3
Merci
Uo appartient à [1/3 ; 1].
Soit n . Supposons Un appartient à [1/3 ; 1], montrons que Un+1 appartient à [1/3 ; 1].
Un+1 = (Un)^1/3exp(-1/3)
par hypothèse de récurrence on a :
1/3Un1
donc
(1/3)^(1/3)exp(-1/3)(Un)^1/3exp(-1/3)exp(-1/3)
or (1/3)^(1/3)= exp(1/3*ln(1/3))
alors (1/3)^(1/3)exp(-1/3)= exp(1/3*ln(1/3)-1/3)
= exp[1/3*(ln(1/3)-1)]
= exp[1/3*(ln(1/3)-ln(e))]
= exp[1/3*ln(1/3e)]
= (1/3e)^(1/3)
on peut comparer les valeurs de (1/3e)^(1/3) au cube et de 1/3 au cube :
(1/3e)^(1/3) au cube= 1/3e
1/3 au cube= 1/(3*9)<1/3e
la fonction cube étant strictement croissante, on en déduit que (1/3e)^(1/3)>1/3
on a donc déjà Un+11/3
montrons maintenant que Un+11
-1/3<0 ; la fonction exp étant strictement croissante on peut écrire exp(-1/3)<exp(0) =1
on a donc bien Un+1 appartient à [1/3 ; 1].
salut,
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