Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Suite + recurrence

Posté par Goron (invité) 27-09-04 à 05:59

Bonjour ! Pouvez vous m'aider sur un exo trop compliqué...

La suite (Un) est definie par :U0 = 1/3 et Un+1 = (Un)^1/3 exp(-1/3)

Montrer par recurrence que Un appartient à [1/3 ; 1]

Je ne vois vraiment pas par ou commencer sinon de déduire de 1/3 < Un < 1 les égalité pour Un^1/3

Merci

Posté par flofutureprof (invité)re : Suite + recurrence 27-09-04 à 10:35

Uo appartient à [1/3 ; 1].
Soit n  . Supposons Un appartient à [1/3 ; 1], montrons que Un+1 appartient à [1/3 ; 1].

Un+1 = (Un)^1/3exp(-1/3)
par hypothèse de récurrence on a :
       1/3Un1
donc
(1/3)^(1/3)exp(-1/3)(Un)^1/3exp(-1/3)exp(-1/3)

or (1/3)^(1/3)= exp(1/3*ln(1/3))
alors (1/3)^(1/3)exp(-1/3)= exp(1/3*ln(1/3)-1/3)
                                   = exp[1/3*(ln(1/3)-1)]
                                   = exp[1/3*(ln(1/3)-ln(e))]
                                   = exp[1/3*ln(1/3e)]
                                   = (1/3e)^(1/3)
on peut comparer les valeurs de (1/3e)^(1/3) au cube et de 1/3 au cube :
(1/3e)^(1/3) au cube= 1/3e
1/3 au cube= 1/(3*9)<1/3e
la fonction cube étant strictement croissante, on en déduit que (1/3e)^(1/3)>1/3
on a donc déjà Un+11/3
montrons maintenant que Un+11
-1/3<0 ; la fonction exp étant strictement croissante on peut écrire exp(-1/3)<exp(0) =1
on a donc bien Un+1 appartient à [1/3 ; 1].
salut,



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !