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Niveau Maths sup
Suite recurrence ENAC
Posté par diane13
Bonjour,
Il y a une correction du concours de l'ENAC 2011 que je ne comprends pas du tout.
Je ne suis pas d'accord avec la correction pourtant plusieurs corrigés me contredisent.
Pourriez vous m'expliquer ?
Voilà l'exercice :
On considère la suite :
Un+1 = Un ( Un + 1/n )
U1 est un réel
Quelles assertions sont vraies ? :
1)
n 
*, Un 
0,
2) n *, Un 0 
U1 0
3)n , U1 0 
Un 0
4) n *, Un 0 U1 0 ou 
-1
Pour la 1), clairement en prenant par exemple U1= -1/2 c'est faux
Pour la 2) c'est la ou est le probleme. Le corrigé indique que c'est vrai, cependant en prenant par exemple U1=-2, on a Un positif
Pour la 3) c'est faux car ne prive pas de zéro
Pour la 4) je la trouve bonne alors que la correction dit faux. Pourtant un rapide tableau de signe montre que si U1 est inférieur à -1 ou supérieur à 0, alors U2 est positif et par récurrence Un l'est aussi.
SI vous pouviez m'éclairer un peu sur mon erreur merci d'avance.
Pour la 2, ça dépend où on applique le quantificateur !
, c'est faux.
, c'est vrai.
Pareil pour la 4.
salut
il est clair que un 0 un+1 0
donc u1 0 un 0
réciproquement supposons un+1 0
alors
un2 +un/n - un+1 = 0 est une équation du second de gré .... dont les racines sont ....
Oui j'ai lu ce message, mais je ne comprends pas la différence en rapport au quantificateur..
En faites pour établir mon raisonnement, je suis parti de U2. En effet, on montre rapidement que si U2 est positif, alors n 2, on a Un0.
De ce fait, en choississant U2 positif, on a U1(U1+1)0 ce qui veut dire que U1 et U1+1 sont de même signes.
Ainsi, avec un rapide tableau de signe, U1 et U1+1 sont de même signes pour U1-1 et U10.
Alors, on revient sur mon problème car pour U1-1<0, on a bien Un0..
Voici l'énoncé au mot et à la virgule près:
note ici l'ensemble des entiers naturels. On s'intéresse aux suites (Un), n définies par les données de U1 un réel et la relation:
n *, U(n+1)= Un (Un +1/n)
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies:
a) n *, Un0
b) n *, Un0 U10
c) n , U10 Un0
d) n *, Un0 U10 ou U1-1
La b et la d sont ambiguës, à mon avis. Encore une fois, je dis : trop de symboles ! Avec une phrase en français, il n'y aurait pas ce problème.