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Niveau Maths sup
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Suite Récurrente Minorée

Posté par
AlexQuiFlex
04-04-21 à 19:10

Bonjour, voila quelques jours que je bloque sur une démo d'un exercice. Voici la question :

On a la suite Un: Uo = 3 et Un+1 = Un^2-Un.
Montrer que Un>=3.2^n.

( Je crois que le prof n'attend pas de récurrence ici car d'habitude il précise "Montrer par récurrence..." mais même en essayant une récurrence je n'ai pas réussi... )

Serait-il possible d'avoir quelques pistes de calculs ? J'aimerai réussir à trouver plus ou moins tout seul.

Merci d'avance

Posté par
Zormuche
re : Suite Récurrente Minorée 04-04-21 à 19:33

Bonjour
c'est certain qu'il faudra faire une récurrence, mais elle n'est pas évidente au premier coup d'oeil

En fait, c'est équivalent à montrer que  u_{n+1}\ge 2u_n  Si tu poses proprement l'hérédité

Posté par
AlexQuiFlex
re : Suite Récurrente Minorée 04-04-21 à 19:57

Merci beaucoup !
Si j'ai bien compris il faut alors prouver que Un^2 - 3Un >= 0.
Pensez-vous qu'en posant f(x) = x^2 - 3x et en étudiant le signe de f entre 3 (=Uo) et +inf (car Un croissante) cela serait accepté ?

Posté par
carpediem
re : Suite Récurrente Minorée 04-04-21 à 20:50

salut

en écrivant u_{n + 1} = u_n^2 - u_n = u_n(u_n - 1) alors le résultat est immédiat par récurrence puisque la suite est (strictement) positive ...

Posté par
Zormuche
re : Suite Récurrente Minorée 04-04-21 à 20:50

Oui, tu peux. Mais c'est un peu bourrin
On peut faire beaucoup plus vite

On est rendu à comparer  U_n\times U_n  et  U_n\times 3. Que faire ?



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