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Suite récurrente Un+1=f(Un)

Posté par
tmtdmn
16-09-20 à 20:47

Bonjour,

J'ai un problème lors de l'étude de ma suite définie par u_0\in R et u_{n+1 }=u_n-u_n^2. La fonction est bien continue, on a f(R)= ]-\infty,1/4] donc stable...
Point fixe : x=0.
f(x)-x=-x^2 \leq 0 donc (u_n) est décroissante

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & 0 & & 1/2 & & +\infty & \\ {f'(x)} & & + & & + & 0 & + & & \\ {f} & & \nearrow & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Ainsi on a deux cas possibles : (sans compter u_0=0)

- u_0 <0 on montre par l'absurde qu'elle diverge vers - \infty.

- 0<u_0<1/2 décroissante minorée donc converge.

Ensuite je me suis dis que vu que f(R)= ]-\infty,1/4], on a u_1 \in ]-\infty,1/4[ et que donc à un itéré près, inutile d'étudier pour u_0>1/2 (peut-être est-ce faux ?)

Or je sais que la suite converge pour 0<u_0<1 mais je ne vois pas dans mon raisonnement où la valeur de 1 peut apparaître. Je peux dire que vu que f(1)=0
= point fixe la suite est constante... mais à quel moment mon 1 aurait pu apparaître dans mon raisonnement ??

En vous remerciant d'avance.

Posté par
lionel52
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 20:53

Hello !
Si u0 €]1/2;1[, alors u1 € ]0;1/4[

Posté par
carpediem
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 20:53

salut

x - x^2 s'annule en deux valeurs ...

ensuite peut-être faut-il regarder plus finement l'image de certains intervalles ...

Posté par
tmtdmn
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 20:58

lionel52 @ 16-09-2020 à 20:53

Hello !
Si u0 €]1/2;1[, alors u1 € ]0;1/4[


Oui je suis d'accord mais comment j'aurai pu penser m'arrêter à 1 et ne pas prendre [1/2,+\infty[ tout entier.

carpediem @ 16-09-2020 à 20:53

salut

x - x^2 s'annule en deux valeurs ...

ensuite peut-être faut-il regarder plus finement l'image de certains intervalles ...


D'accord donc enfaite quand j'ai trouvé mon point fixe je dois nécessairement vérifier s'il n'a pas un antécédent par f autre que lui même ??

Posté par
lionel52
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 20:59

Parce que pour x > 1 U1 est négatif

Posté par
tmtdmn
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 21:02

lionel52 @ 16-09-2020 à 20:59

Parce que pour x > 1 U1 est négatif


EXACT merci beaucoup !! l'intervalle ]1/2,+\infty[ n'est pas stable par f donc je dois approfondir.

Posté par
tmtdmn
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 21:08

Alors enfaite non, car comme je l'ai dis plus haut, en prenant un itéré de plus je me retrouve dans un intervalle stable. On va donc dire que j'aurai du vérifier que 0 n'a pas d'autre antécédent que lui même par f.

Posté par
carpediem
re : Suite récurrente Un+1=f(Un) 16-09-20 à 21:20

comme je l'ai dit il faut regarder certains intervalles plus finement en étudiant aussi le signe de x - x^2 qui conduit à regarder les intervalles [1/2, 1] et [1, +oo[ ...

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